电子科技大学：《试验设计方法》第五章 回归分析（部分）

变量S的值随而定,这就是说,如果去了固定 值,那么S的值就完全确定了 这种关系就是所谓的函数关系或确定性关系 回归分析方法是处理变量之间相关关系的有理 工具,它不仅提供建立变量间关系的数学表达式 经验公式,而且利用概率统计知识进行了分析讨 论,从而判断经验公式的正确性

3 ⚫ 变量S的值随t而定，这就是说，如果t去了固定 值，那么S的值就完全确定了 ⚫ 这种关系就是所谓的函数关系或确定性关系 ⚫ 回归分析方法是处理变量之间相关关系的有理 工具，它不仅提供建立变量间关系的数学表达式— —经验公式，而且利用概率统计知识进行了分析讨 论，从而判断经验公式的正确性

回归分析所能解决的问题 回归分析主要解决以下几方面的问题: (1)确定几个特定变量之间是否存在相关关系, 如果存在的话,找出她们之间合适的数学表达式 (2)根据一个或几个变量的值,预报或控制另 个变量的取值,并且要知道这种预报或控制的精确 度 (3)进行因素分析,确定因素的主次以及因素之 间的相互关系等等

4 ⚫ 二、回归分析所能解决的问题 ⚫ 回归分析主要解决以下几方面的问题： ⚫ （1）确定几个特定变量之间是否存在相关关系， 如果存在的话，找出她们之间合适的数学表达式 ⚫ （2）根据一个或几个变量的值，预报或控制另一 个变量的取值，并且要知道这种预报或控制的精确 度 ⚫ （3）进行因素分析，确定因素的主次以及因素之 间的相互关系等等

元线性回归分析,只要解决: (1)求变量x与y之间的回归直线方程 (2)判断变量x和y之间是否确为线性关系 (3)根据一个变量的值,预测或控制另一变量 的取值

5 ⚫ 一元线性回归分析，只要解决： ⚫ （1）求变量x与y之间的回归直线方程 ⚫ （2）判断变量x和y之间是否确为线性关系 ⚫ （3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量 的取值

元线性回归方程的确定 数学上判定直线合理的原则: 如果直线与全部观测数据y(i=1,2,…,N)的离差平方和, 比任何其它直线与全部观测数据的离差平方和更小,该 直线就是代表x与y之间关系较为合理的一条直线,这条 直线就是x和y之间的回归直线

6 ⚫ 二、一元线性回归方程的确定 y ( 1,2,..., ) i x y x y i N = 数学上判定直线合理的原则： 如果直线与全部观测数据 的离差平方和， 比任何其它直线与全部观测数据的离差平方和更小，该 直线就是代表 与 之间关系较为合理的一条直线，这条 直线就是 和 之间的回归直线

设y=a+bx是平面上的一条任意直线,(x,y)=12, ,N)是变量x,y的一组观测数据。 那么,对于每一个x,在直线y=a+bx上确可以确定 个y=a+bx的值,y与x处实际观测值y的差: (a+bx) 就刻画了y与直线偏离度

7 * * * * * , )( 1,2, ..., ) x y ( ) i i i i i i i i i i i i y a bx x y i N x y a bx y a bx y x y y y y a bx y = + = = + = + − = − + 设 是平面上的一条任意直线，( 是变量 ， 的一组观测数据。 那么，对于每一个 ，在直线 上确可以确定一 个 的值， 与 处实际观测值 的差： 就刻画了 与直线偏离度

+6

8 x y 1 x ( , ) i i x y ^ ( , ) i i x y ^ y a bx = +

全部观测值y(i=1,2,…,N)与直线上对于的y(=1,2,,N) 的离差平方和则为: Q=∑(1-y)2=∑ Q反映了全部观测值y(=1,2,,N)对直线的偏离程度,显 然,离差平方和Q越小,愈能较好地表示x,y之间的关系 用最小二乘法原理,通过选择合适的系数a,b,使Q最小

9 * * 2 2 1 1 ( 1,2,..., ) ( 1,2,..., ) ( ) ( ) ( 1,2,..., ) , a b Q i i N N i i i i i i i y i N y i N Q y y y a bx Q y i N Q x y = = = = = − = − − =   全部观测值 与直线上对于的 的离差平方和则为： 反映了全部观测值 对直线的偏离程度，显 然，离差平方和 越小，愈能较好地表示 之间的关系。 用最小二乘法原理，通过选择合适的系数 ， ，使 最小

∑(1-a-bx)=0 (6-1) bx, )x=0 (6-2 ab 联合求解得: y y N N y bx (6-4) 10

10 1 1 _ _ 1 1 1 1 _ 2 2 2 1 1 _ _ 2 ( ) 0 (6 1) 2 ( ) 0 (6 2) 1 ( )( ) (6 3) 1 ( ) ( ) (6 4) N i i i N i i i i N N N N i i i i i i i i i i N N i i i i i Q y a bx a Q y a bx x b x x y y x y x y N x x x x N a y b x = = = = = = = =  = − − − = −   = − − − = −  − − − = − − − = − −          N i=1 联合求解得： b=

此处 ∑x,y=1∑ (6-5) N N 求得a,b后,回归方程为: a+b 便可以确定,b称为回归系数

11 _ _ 1 1 ^ 1 1 , (6 5) a b (6 6) b N N i i i i x x y y N N y a bx = = = = − = + − 此处   求得 ， 后，回归方程为： 便可以确定， 称为回归系数

回归方程检验方法 (一)方差分析法 回顾方差分析的基本特点: 把所给数据的总波动分解为两部分,一部分反映水平 变化引起的波动,另一部分反映由于存在试验误差而引起 的波动。然后把各因素水平变化引起的波动与试验误差引 起的波动大小进行比较,而达到检验因素显著性的目的 12

12 ⚫ 三、回归方程检验方法 ⚫ （一）方差分析法 ⚫ 回顾方差分析的基本特点： ⚫ 把所给数据的总波动分解为两部分，一部分反映水平 变化引起的波动，另一部分反映由于存在试验误差而引起 的波动。然后把各因素水平变化引起的波动与试验误差引 起的波动大小进行比较，而达到检验因素显著性的目的