东南大学：《信号与线性系统》课程教学资源（课件讲稿，第四版）第五章 连续时间系统的复频域分析（1/4）

Chapter5连续时间系统的复频域分析 §5-1引言 拉普拉斯变换(L.T.)分析法是常用的分析技术。 本章重点:(1)正反LT.及其性质(含双边); (2)用L.T.求响应; (3)系统函数H(s)→>框图(流图)

Chapter 5 连续时间系统的复频域分析 东南大学移动通信国家重点实验室 §5-1 引言 拉普拉斯变换（L.T.）分析法是常用的分析技术。 本章重点：（1）正反L.T.及其性质（含双边）； （2）用L.T.求响应； （3）系统函数H(s) -> 框图（流图）

§5-2由傅里叶变换到拉普拉斯变换 1.正反拉氏变换的定义 傅里叶变换的不足:i)指数增长型信号不存在变换; i)反变换不易求

§5-2 由傅里叶变换到拉普拉斯变换 1． 正反拉氏变换的定义 傅里叶变换的不足：i）指数增长型信号不存在变换； ii）反变换不易求。 东南大学移动通信国家重点实验室

如f(1)=e'E(t)+e"E(-t)(B>a>0) f(t) e"c(1) fi(tf(te E(-1) e 8(t) 0

如 f (t) e (t) e ( t) t t = ε + ε − α β ( β >α > 0 ) f1(t)=f(t)e-σt 东南大学移动通信国家重点实验室

令f1(t)=f()e"(aF1() 中F(i)=」(O.=(ootl 令 S=G+/0 则F)J/()0oh=F2(s)

令 t f t f t e − σ ( ) = ( ) 1 (α < σ < β) 则 ( ) 1 f t 可积，即其傅里叶变换存在。 记 ( ) ( ) f1 t ↔ F1 jω 即 ∫ ∫+∞−∞ − + +∞−∞ − F j = f t e dt = f t e dt j t ( j )t 1 1 ( ) ( ) ( ) ω σ ω ω 令 s = σ + jω 则 ( ) F1 jω = ∫+∞−∞ − f t e dt st ( ) = F (s) d 东南大学移动通信国家重点实验室

由:A1()=fem=、1r Fd(se da 2兀 f(t) Ei(se (σ+j0)t 4dO-2吗 Fi(se ds 0-100 a<o<B

由： ∫+∞−∞ − = = ω π σ ω f t f t e F s e d j t d t ( ) 21 ( ) ( ) 1 ∴ ∫ ∫ + ∞ − ∞ +∞−∞ + = = jj st d j t d F s e ds j f t F s e d σσ σ ω π ω π ( ) 21 ( ) 21 ( ) ( ) α < σ < β 东南大学移动通信国家重点实验室

由上有: f(t)<>F4(S) + 其中,Fd(S) f(te-stdt a<o<B 称为 双边正变换或象函数, a<o< 称为 双边拉氏变换的收敛域(R0C)。 st 而 f(t) 1 G+j Fd(s) e S 2πJ 0-Jo0 称为 双边反变换或原函数

东南大学移动通信国家重点实验室 由上有： f ( t ) F ( s ) ↔ d 其中， ∫ +∞ − ∞ − F s = f t e dt st d ( ) ( ) , α < σ < β 称为 双边正变换 或 象函数 ， α < σ < β 称为 双边拉氏变换的收敛域(ROC) 。 而 ∫ σ + ∞ π σ − ∞ = j j st d F s e ds j f t ( ) 2 1 ( ) 称为 双边反变换 或 原函数

注意:上述变换对中, ◆s要在其收敛域(R0C)中, ◆若收敛域不包含虚轴,则信号ⅹ(t)的L.T 存在,而F.T.不存在

注意：上述变换对中， ‹ s 要在其收敛域（ROC）中， ‹ 若收敛域不包含虚轴，则信号 x(t) 的 L.T. 存在，而 F.T.不存在。 东南大学移动通信国家重点实验室

对有始信号f()=f(1)e(t 变换对:f(t)<F(s) 有:F( f(tedt SE ROC f()-1cF(se",t≥0 2a 单边拉氏正、反变换

对有始信号 f (t) = f (t)ε(t)， 变换对： f (t) ↔ F (s) 有： ∫ +∞ − − = 0 F (s) f (t)e dt st ， s ∈ ROC ∫σ+ ∞ π σ− ∞ = jj st Fd s e ds j f t ( ) 21 ( ) ， − t ≥ 0 单边拉氏正、反变换 东南大学移动通信国家重点实验室

2.L.T的含义: 分解成无穷多个复指数分量的迭加。 3.复频率S=σ+j0与单元信号e“的关系。 (见书P209页图5-2) 注:(1)σ决定信号幅度的变化快慢, ①决定信号振荡的频率; (2)一对共轭分量构成一个变幅(正弦)振荡

2．L.T 的含义： 分解成无穷多个 复指数分量 的迭加。 3． 复频率s = σ + jω 与单元信号 st e 的关系。 （见书 P209 页图 5-2） 注：（1） σ 决定信号幅度的变化快慢， ω 决定信号振荡的频率； （2）一对共轭分量构成一个变幅（正弦）振荡。 东南大学移动通信国家重点实验室

§5-3拉氏变换的收敛域 若∫(D)在任意一段区间上只含有有限个(取值为有限) 的极值点,且1→±∞时,团(是回指数阶的,即 ①对有始信号,若1m()e→>0,(o>5o-); ②对左边信号,若1imf(口)e。→>0,(0<) ③对双边信号,im∫(t)e。→0,(<<) 则其拉氏变换在以上区域(收敛域R00)中收敛, 称S=σ0为收敛轴(边界),注意:收敛域不包含边界

§ 5-3 拉氏变换的收敛域 若 f (t)在任意一段区间上只含有有限个（取值为有限） 的极值点，且t → ±∞ 时， f (t) 是σ 0 指数阶的, 即 ① 对有始信号，若 lim ( ) → 0 − → ∞ t t f t e σ ，( ) 0 σ > σ + ； ② 对左边信号，若 lim ( ) → 0 −σ →−∞ t t f t e ，( ) 0 σ<σ − ； ③ 对双边信号， lim ( ) → 0 − σ → ±∞ t t f t e ，( ) 0 0 σ + <σ<σ − 则其拉氏变换在以上区域（收敛域 ROC）中收敛， 称 = σ0 s 为收敛轴（边界），注意：收敛域不包含边界。 东南大学移动通信国家重点实验室