华南理工大学：《现代编码理论与技术》课程教学资源（习题）第二章 代数初步

第二章 代数初步习题 1.求下列各数之间的最大公约数： (1)(51425,13310),并用欧几里德算法表示成(a,b)=a4+bB的形式。 (2)(353430,530145,165186). 2.求下列各数之间的最小公倍数： [391,493],[1965,1834,30261] 3.证明最大公约数的4条性质。 4.求下列同余式的解x: 1515=x(mod17) 3x≡10(mod29) 5.令G是由一切数对(a,b)所构成的集合，a、b为有理数，且a≠0。问G对于乘法 (a1,b1)(a2,b2)=(a1a2,a2b1+b2) 是否构成群，为什么？ 6.全体非负整数集合，在通常的加和乘运算下是否构成群？ 7.构造GF(5)的乘法和加法表。 8.求GF(17)上15元素的逆元。 9.证明仅有一个三元素的群，仅有两个四元素的群。这些群是否为可换群？ 10.{0,1,2,3}集合在模4运算下是否构成乘群或加群？若是，找出其中所有真子群。 11.(1,-1,i,-i)对乘和加是否构成群？里面有真子群吗？ 12.二进制四重全体的集合能否构成群，是可换群吗？若是，找出其中一个四阶子群，并构造 陪集表。 13.证明定理2.3.1。 14.求出环Z16和Z24的全部零因子。 15.若假定实数集合是一个域，下列实数子集中哪一个是域，为什么？ (a)全体形如a叶b√3的数，此处a、b是有理数。 (b)全体形如a+b5的数，此处a、b是有理数。 (c)全体不是整数的有理数。 16.试找出能张成G(3)上的三维空间的两组基底。 17.设S是所有三维矢量(x,y,)所组成的空间3中的一个集合，且分量之间的运算满足结 合律，确定S是否是子空间，若是，则决定其维数。 18.把下述GF(3)上的矩阵： 120 221 111

第二章 代数初步 习题 1．求下列各数之间的最大公约数： （1）(51 425，13 310)，并用欧几里徳算法表示成（a，b）=aA+bB 的形式。 （2）（353 430，530 145，165 186）。 2．求下列各数之间的最小公倍数： [391，493]，[1 965，1 834，30 261] 3．证明最大公约数的 4 条性质。 4．求下列同余式的解 x： 1515 ≡ x（mod 17） 3x ≡10（mod 29） 5．令 G 是由一切数对（a,，b）所构成的集合，a、b 为有理数，且 a ≠ 0。问 G 对于乘法 （a1，b1）（a2，b2）=（a1 a2，a2 b1+ b2） 是否构成群，为什么？ 6．全体非负整数集合，在通常的加和乘运算下是否构成群？ 7．构造 GF（5）的乘法和加法表。 8．求 GF（17）上 15 元素的逆元。 9．证明仅有一个三元素的群，仅有两个四元素的群。这些群是否为可换群？ 10．{0，1，2，3}集合在模 4 运算下是否构成乘群或加群？若是，找出其中所有真子群。 11．（1，-1，i，-i）对乘和加是否构成群？里面有真子群吗？ 12．二进制四重全体的集合能否构成群，是可换群吗？若是，找出其中一个四阶子群，并构造 陪集表。 13．证明定理 2.3.1。 14．求出环Z16和Z24的全部零因子。 15．若假定实数集合是一个域，下列实数子集中哪一个是域，为什么？ （a）全体形如 a+b 3 的数，此处 a、b 是有理数。 （b）全体形如 a+b 3 5 的数，此处 a、b 是有理数。 （c）全体不是整数的有理数。 16．试找出能张成 GF(3)上的三维空间的两组基底。 17．设S是所有三维矢量（x，y，z）所组成的空间V3中的一个集合，且分量之间的运算满足结 合律，确定S是否是子空间，若是，则决定其维数。 18．把下述 GF(3)上的矩阵： 1 20 221 1 11 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

表示成初等矩阵之积，并化成梯形标准阵，计算它的秩。 19.试用初等运算把下述GF(2)上的矩阵： [11017 1110 0110 0101 化成梯形标准阵，并计算它的秩。 20.设GF(2)上以下两个矩阵： [1101100 [1 0001107 0100111 G=1110010 H= 0010011 0111001 0001101 证明G的行空间是H的零空间，反之亦然。 21.令S和S2是V的子空间，证明与S和S2正交的空间也是V的子空间。 22.证明定理2.6.12

表示成初等矩阵之积，并化成梯形标准阵，计算它的秩。 19．试用初等运算把下述 GF（2）上的矩阵： 1101 1110 0110 0101 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 化成梯形标准阵，并计算它的秩。 20．设 GF（2）上以下两个矩阵： 1101100 1110010 0111001 G ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1000110 0100111 0010011 0001101 H ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 证明 G 的行空间是 H 的零空间，反之亦然。 21．令S1和S2是V的子空间，证明与S1和S2正交的空间也是V的子空间。 22．证明定理 2.6.12