山东大学：空间科学与技术教学资源（实验课件）高等数学基础知识

和老数格基越和岛空间科学与应用物理系2007.10

空间科学与应用物理系 2007.10

导数与微分的定义一、导数设函数 =f(x)在x的邻域内有定义,给x在x处以增量△x（≠O），函数y相应地得到增量Ay=f(xo+△x)-f(x），如果极限f(x+Ar)- f(x 存在,AylimlimAr-0AxAr→0Ax则称函数在点x.处可导，该极限值称为函数在x.处的导数。记为f（x），（xdydx |x=xo

导数与微分的定义 ❖ 一、导数 ❖ 设函数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , 0 - - lim lim x x x x y f x x x x x y y f x x f x y f x x f x x x x x f x y x dy dx  →  → = =    = +   +  =   ， ， 在 的邻域内有定义 给 在 处 以增量 （ ），函数 相应地得到增量 （ ） （ ），如果极限 （ ） （ ）存在， 则称函数在点 处可导，该极限值称为 函数在 处的导数。记为（ ），（ ）

y=f(x)MYoHXXo+AxXo导数的几何意义：y=f(x)在x.处的导数f(x)，表示曲线y=f(x)在M（xo.y。）处切线的斜率，即tanθ=f(x)

0 0 x x x +  x y  y f x = ( ) 导数的几何意义： 0 0 0 0 0 ( ) x ( ) ( ) M x y tan ( ) y f x f x y f x  f x = = = ， ， ， 在 处的导数 ，表示曲线 在 （ ）处 切线的斜率，即 。 M x y （ 0 0 ， ）

Ay即： fc)= y(xo)= limoAx->0 Axf(xo +△x)- f(xo) _ dy= limdx Ix=xo△x△x->0那么dy = y'dx = f'dx

0 0 0 , , ( ) ( ) 0 0 0 0 , , lim ( ) ( ) lim x x x x x x y f y x f x x f x dy x dx dy y dx f dx  → =  →  = =  +  − = =  = = 即： 那么

二、导数与微分的运算法则设u=u(x),v=v(x)均可导， 则X(1)(cu)' = cu', d(cu)= cdu(2)(u+v'=u+y,du+v=du+dy(3)(uv)= uv+vu, d(uv)= udv+vduvu'-uv2(4)(0)D2-vdu- udy(V±0)a2VV

二、导数与微分的运算法则 ❖ 设 2 2 ( ), ( ) 1 2 3 4 0 0 u u x v v x cu cu d cu cdu u v u v d u v du dv uv uv vu d uv udv vdu u vu uv v v v u vdu udv d v v v = = = = + = + + = + = + = +   −   =      −   =    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 均可导，则 （ ）（ ） ，（ ） （ ）（ ） ，（ ） （ ）（ ） ，（ ） （ ） （ ） （ ）

三、基本公式(1）y=常数女y=0dy=0（2）y=x（a为实数）y'=axa-ldy = axa-l dx(3)y=αxy"=αlnady=a"lna·dx特例：y=e*y'=e*lne=e*dy=e'dx11dx(4)y = log, X, a>0,a ±1,ydnxlnaxlna特例：y=lnx，y'==,dxdv=xx(5)y = sin x, y" = cos x, dy = cos xdx其他求导公式参看高等数学

三、基本公式 a a-1 a-1 , a , , 1 y 0 0 2 y x a ax ax 3 ln ln e e ln e e e 1 1 (4)y log x a>0,a 1,y , ln ln 1 1 y ln x y , (5) sin , cos , x x x x x x x y dy y dy dx y a y a a dy a a dx y y dy dx dy dx x a x a dy dx x x y x y x = = = = = = =  = = = = =  = = = = = = = ， ， ， ， （ ） =常数 （ ） = （ 为实数） （ ） 特例： ， 特例： ， dy xdx = cos 其他求导公式参看高等数学

四、复合函数求导法则设y=f(u)，u=g(x），且u=g(x）在x处可导,而f(u)在相应的u处可导，则复合函数y=f(g(x))dy_ dy du在x处可导，且dxdu dx

四、复合函数求导法则 ( ) ( ) ( ) y f u u g x u g x x f u u y f g x dy dy du x dx du dx = = = = =  设 ， （ ），且 （ ）在 处可导， 而 在相应的 处可导，则复合函数 （ ） 在 处可导，且

例l、=sin x2，可写为y=sinu，u=x=cosu·2x=2xcosxdx例2、=(2x+1)1°，可写为y=ul°，u=2x+110.u°.2=20u°=20(2x+1)%dx

2 2 2 10 10 9 9 9 1 sin sin cos 2 2 cos 2 2 1 2 1 10 2 20 20 2 1 y x y u u x dy u x x x dx y x y u u x dy u u x dx = = = =  = = + = = + =   = = + 例 、 ，可写为 ， 例 、 （ ），可写为 ， （ ）

例题：对以下各式求导并求其微分X+12、y=x+1、y=4x3+7x+1+24元D33、y = ln(x2+8)4、V=3解：1、y=12x2+7dy=(12x2 +7) dxx2.1-(x+1).2xx(x+2)2、y=1+++x(x+2)dxdy+2x2xdx3、ydy=x2 +8x2+84、V=4元D2dV=4元DdD

3 2 2 3 x+1 1 y 4x +7x+1 2 y=x+ x 4 3 y ln x 8 4 V D 3  = = 例题：对以下各式求导并求其微分 、 、 、 （ + ） 、 = 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 1 12 7 12 7 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 3 8 8 4 4 4 y x dy x dx x x x x x y x x x x dy dx x x x y dy dx x x V D dV D dD   = + = +  − +  + = + = − + = − = = + + = = ， ， ， ， 解：、 （ ） （ ） （ ） 、 （ ） （ ） 、 （ ）

五、偏导数对一元函数y=f（x），导数f（x）就是函数f（x）关于自变量x的变化率，那么对于二元函数或多元函数，也需要考察它的变化率问题。因为多元函数的自变量不止一个，我们常常要用多元函数对其中某一个自变量的变RT化率，而其他自变量都保持不变。例如：P=V

五、偏导数 y f x f x f x x RT P V = 对一元函数 （ ），导数（， ）就是函数 （ ）关于 自变量 的变化率，那么对于二元函数或多元函数，也 需要考察它的变化率问题。因为多元函数的自变量不止 一个，我们常常要用多元函数对其中某一个自变量的变 化率，而其他自变量都保持不变。例如： =