中国科学技术大学：《数值分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第1章 插值

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ●计算机如何表达函数? 1.已知函数形态,可以存相关系数 2对任意函数,可以存点

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ⚫计算机如何表达函数？ 1.已知函数形态，可以存相关系数 2.对任意函数，可以存点

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第1章插值 实际中,f(x)多样,复杂,通常只能观测到一些离散数据 或者fx)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近f(x)。 自然地,希望g(x)通过所有的离散点 g(x)≈f(x) co x 3 4

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第1章 插 值 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 x0 x1 x2 x x3 x4 g(x)  f(x)

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义:f(x)为定义在区间[ab]上的函数x}=0为区间上n+1个互不 相同的点,①为给定的某一函数类。求上的函数8(x)满足 g(x)=f(x,),i=0,…,n 问题 ●是否存在唯 ●如何构造 ●误差估计

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足 f (x) a,b   0 n i i x =   g(x) g(xi ) = f (xi ) , i = 0,  ,n 问题 ⚫ 是否存在唯一 ⚫ 如何构造 ⚫ 误差估计

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 设g(x)=a0(0(x)+…+cmn9mn(x)则 g(x)=f(x1)=a00(x1)+…+ann(x) (x0)+a191(x)+…+an9n(x0)=f(x0 0(x1)+a192(x1)+…+ann(x)=f(x1) aoPo(n)+a,9(n)+.+amPm(n)=f( 所以{1}=有唯一解,当且仅当m=n,且系数行列 式不为0

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m i i i m m i g x a x a x g x f x a x a x     = + + = = + + 设 则 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m n n m m n n a x a x a x f x a x a x a x f x a x a x a x f x           + + + =   + + + =     + + + = 所以 有唯一解，当且仅当m=n，且系数行列 式不为0 0 { }n i i a =

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 存在唯一定理 定理11x}=0为n+1个节点,①=spm,,…qn} n+1维空间,则插值函数存在唯一,当且仅当 o(x)…n(x ≠0 0(n P(

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 存在唯一定理 定理1.1 ： 为n＋1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当   0 n i i x =  = span{0 ,1 , n } 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0  n n n n x x x x         

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 特点: 1.与基函数无关 2.与原函数fx)无关 3.基函数个数与点个数相同

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 1. 与基函数无关 2. 与原函数f(x)无关 3. 基函数个数与点个数相同 特点：

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 对应于Φ=P(x)=spm{1,x,x2,…x"} XX x,)≠0 0≤j<i≤n Vandermonde行列式 病态

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( ) {1, , , } n 2 n 对应于  =  x = span x x x 则 ( ) 0 0 1 0 0 1 1 0 1 n n i j j i n n n n x x x x x x x x    = −   Vandermonde行列式 病态

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 多项式插值的 Lagrange型 ●如何找? 在基函数上下功夫,取基函数为{(x)}=0<P O,≠j 要求l(x)=O= li= 则g(x)=∑l(x)f(x) 0

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 多项式插值的Lagrange型 ⚫ 如何找？ 在基函数上下功夫，取基函数为 n n i x i {l ( )} =0   要求    =  = = i j i j l i x j i j 1, 0, ( )  则 ( ) ( ) ( ) 0 i n i i g x l x f x = =

中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 求{l(x)}o,易知: LOx ax (x-x1-1)(x-x+1)……(x )(x +1 (x-x0)…(x-x2-1)(x-x+1)…(x一xn) )(x 记a,(x)=I(x-x)+l(x) o(x) (x1)(x-x1)

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 求 n i x i l 0 { ( )} = ，易知： ( ) ( ) ( )( ) ( ) i x ai x x0 x xi 1 x xi 1 x xn l = −  − − − +  − ( ) ( )( ) ( ) 1 i 0 i i 1 i i 1 i n i x x x x x x x x a − − − − =  − +  0 1 1 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x − + − + − − − − = − − − − 0 ( ) ( ) n n i i  x x x = 记 = −  ( ) ( ) ' ( )( ) n i n i i x l x x x x   = −

中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ●线性插值 X X XI 0 L(x)=f(x)(x)+f(x1)1(x)

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ⚫线性插值 1 0 0 1 0 1 1 0 ( ) , ( ) x x x x l x x x x x l x − − = − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 1 L x = f x l x + f x l x