西安电子科技大学：《模糊理论与模糊系统 Fuzzy Theory and Fuzzy Systems》课程教学资源（课件讲义）第二章模糊理论基础第一部分普通集合、模糊集合、分解定理与扩展原理.pdf_大学文库

第二章模糊理论基础模糊理论(Fuzzy Theory)是建立在模糊集合基础之上的，是描述和处理人类语言中所特有的模糊信息的理论。它的主要概念包括模糊集合(Fuz四Sts)、隶属度函数(Membership Function)、模糊算子(Fuzzy Operator)、模糊运算(Fuzzy Oper- ation)和模糊关系(Fuzzy relation)等。本章将分别介绍这些概念。 S2.1普通集合我们把被讨论的全体对象或范围叫做论域(Domain),常用U,V,E,·,X,Y,.等大写字母表示。把论域中的每个对象称为元素(Element),用相应的小写字母u,v,e,·,℃，，表示。定义2.1.1给定论域X和某一性质或属性P,X中满足性质P的所有元素所组成的全体叫做集合(St),简称集。其实，这里集合不是定义的概念，而是一种用“数学语言”进行的数学刻划。通常，我们习惯用大写字母A,B,·来表示集合。从X中任意取出一个元素x,对于给定的集合A,要么有x属于A,记做x∈A,要么有x不属于A,记做x走A,二者必居其一且仅居其一，这就是普通集合论中最起码的要求。 2.1.1集合的表示方法如果一个集合所包含的元素为有限个，则称之为有限集，否则就叫做无限集。常用的集合表示方法有如下三种形式： 1.列举法（枚举法）对于有限集，可以将所有的元素一一列出，并用大括号括起来表示， 8

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如A={1,a2,…,an} 2.描述法（定义法）对于无限集，由于元素数目无限，可通过元素的定义来描述集合，如A= {xP(x)},其中P(x)是指“x具有性质P”的缩写。 3.特征函数法用解析形式描述元素属于集合的程度。设A是论域X上的集合，记当x∈A LA( (2.1-1) 当x生A 为集合A的特征函数。式(2.1-1)表明，对于任意给定的x∈X,都有唯一确定的特征函数44(x)∈ {0,1}与之对应。这样的对应关系被称之为映射。这样，我们可以将A表示为 4(x):X→{0,1} (2.1-2) 上式表示44(x)是从X到{0,1的一个映射，它唯一确定了集合A: A={T A(T)=1 2.1-3) 特征函数4(x)表征了元素x对集合A的隶属程度。4A(x)=1表示x∈A,反之如果4A(x)=0表示x生A。这样，对于定义在论域X={c1,x2,x3,x4,x}上的集合A={x2,x3,x5},我们又可以把集合A表示成： A=4A(x1)/x1+HA(x2)/x2+uA(c3)/x3+uA(x4)/x4+HA(x5)/x5 =0/x1+1/x2+1/x3+0/x4+1/x5 这里的“+”号并不是求和，而是表示各元素和特征函数对应关系的总括。 2.12特殊膏定文柱模集：不含论城x中任何元素的集合称为空集，记为第定义金集：论域的全体称为全集，记为2. 定义单点集：仅有一个元素所构成的集合，如A={. 9

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1nA5上：)A,B模城》(·两个，{A任P糊合有，如果x合A,就有食B,么为B,含A,记做B2A,或为A,含AB,记做AC B,并为23A膜上2论 -以(|x,象们可得无如下两个关些： 1.的CAC2 2.如果ACB且BCA.么有A=B论糊中幂2：2 全体上2任通·上2求，叫做23A:幂2，记 B1B馍上2 例如，)？A=0,么糊 {的.{a}{fab}论母样，）·上2A有两某记法：AC)或A合p z被概分§念算 xn1623·并描交描补X算：)A,B合糊 4μB.并描交描补X 算分系！x相 AUB={x|x合A且x合B} 糊 A∩B={x|x合A或x合B} 糊) A={x|x合A} 糊6 ”下 →n个23A142。罩进行并描交X算时，可记如 4U4u章=u4 糊) 4n4n竟=n化，4 糊8 23·并描交描补x算具有如下性每，请注P3们模( 无现.论 1.交换律：AUB=BUA。A∩B=B∩A 2.幂/律： 3.结3律： =A。A门A B)( 4.分配律：糊c=糊 5.下收律： B)UB=B。胡 B)∩B=B 6.两极律： 2=2。A∩2=A;AU的=A。A∩的=的 7.复原律：糊 =A 10

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8./补律：明U明=2论明A明=@ 9.对偶律：·明UB)1=明AB论明AB)1=明UB1 复原律也叫作“双重否定律”1对偶律也叫作“德，摩根.D-Morgan)律”由它可以导如一条对偶原则-，有做中任一且立的定理1若将其中的U与A/ u1明与明μ1C与x/41则该定理仍然且立2 对于多个，有1对偶律可任示为 U1明1=4论·=明1=明定义21.7，有的请运算：设明B。pX)1则，有B对明的请，定义为明-B=:x。明驵x/B) 2.1-9) 简称明减B2请，X补，可相/任示为：明-B=明AB论明=2-明 2.1-10) 定义2.1.8，有的对称请：设论。pX)1则，有明与B的对称请定义为明BB=·明-B)U·B-明 .2.1-11) 由以上定义知1明一B任示属于明而不属于B的所有元素组且的，有1而明BB任示或仅属于戰仅属于B的所有元素组且的，有2 此外1上述定义的，有运算原可以用特征域数的逐个元素运算来任示：比如 ,有明B的)3交3补3请3对称请等运算可分别任示为： AuBx)=maxA'x)论Bx) …2.1-12) 4AnBx)=min4x)论Bx)) 2.1-13) μx)=1-4Ax)论4B·x)=1-Bx) .2.1-14) A-Bx)=min A')论·x) 2.1-15) HAeB'x)=max A-B)B-A)) 2.1-16) 11

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上∈(1nA 即上含.，讨论可知，1经典集合论中，论：X中，某含个或素x4么完全属于某个集合A,即u4(x)=1,4么完全不属于A,即44(x)=0,或素p,分类目3截 .分明，边界。一这个意果上说，普通集合又称为“硬集(Crisp Set)”。假设教室里3五个学生，分别以s1,32,33,54和s6来表示，其中s1,52,53为男生，s4,s5为女生。如果我们关Am表示男学生，集合，以A表示女学生，集合，利关特征函数表示法，可以论Am和A表示为 Am=1/s1+1/s2+1/53+0/s4+0/s Ar=0/s1+0/s2+0/s3+1/s4+1/s5 显.，Am和A,分界是截.分明，。 p是，当我们试图这五个学生中构成表示“高个子学生”和“矮个子学生”，集合时，会感xb统，集合概念是难以应关，。学生，/高虽.3高n之分，p 是，（于“高个子学生”和“矮个子学生”这样，集合，我们不能指明哪些学生含：属于“高个子”，哪些学生含：属于“矮个子”。实际上，，们1处理这样，问题时，也不需4完全P:谁是或者谁不是这些集合，成员，只需4（每个或素P: 含个数，关这个数表示该或素（所言集合，隶属程。。a学生s1(于“高个子学生”集合，隶属。高于学生s2,我们x说学生s1比学生s2相(C更属于“高个子学生”这个集合，而学生s2比学生s1相(C更属于“矮个子学生”这个集合。正是考虑x现实世界中很多事物，分类边界是不分明，，而这种不分明，划分1，们，识别、判断和原知过程中起着重4，作关，为了关数学，方法来处理这种问题，扎B(L.A.Zadeh)于1965年提出了模糊集合，概念。他关隶属。函数(Membership Function)来划分处于中描过渡，事物（差异双方所目3，倾向性。可以原为隶属函数是普通集合中特征函数，推广。当我们论特征函数，值：即{0,1}二值扩展x[0,1]区p时，x描述了含个模糊集合。 :果2.21模糊集：论：X上，模糊集合A即隶属函数(x)来表征，其中4(x)1实轴，闭区p[0,1]上域值，4a(x),值反极了X中，或素x（于A,隶属程。。模糊集合完全即隶属函数所刻划。c),值接近于1，表示x隶属于A,程。很高；4a(x)，值接近于0，表示x隶属于A,程。很n;当4a(x),值：为{0,1}二 12

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值时模扎推：合；集合的，了为数该（法模构便扎推成一个合；集合构论我们可以认：模特集合是合；集合的一般推论对于任给法X模都有唯一确定的隶属为数该（法∈[0分]与理对应论类似于式(2.1-2)模我们可以将构表示：该（法：X→[0分] (2高-1) 完该（法是从XxO分]的一个映射模它唯一确定了模特集构论值A注意的是模我们在讨论模特集合概糊时模论域X所包含的元素是分明的模并不是模特的模而考是X上的模特集合构才是模特的论从隶个意义上说模模特集合应该称：模特子集合(Fuzzy Subset)论 2.2.1模糊集合的上上·∈ 就论域的类值而之模模特集有下列两刻表示方法论 1.设论域X是有征集或可数集模令X={法法分.·法}模X上的任一模特集树模集隶属为数该（法分=1孕分.·分模则此时构可以表示成构=该（法）法+该（法）法+·十该（法）法=丁该（法法 (2高-2) 隶里该（法法不是分数考有符号意义模表示对模特集构的隶属程，是该（法模符号不再是数学和模而是各元素与集隶属为数对应通、的一个总括论 2.设论域X是无征集模则此时X上的一个模特集舸以表示成全构=该（法法 (2高-3) r5X 任同知集中的不再表示积分模考是无穷逻辑和的意义论 2.2.2,,模糊集合定义2.22空集每设构X中的模特集合模如果对V法X模均有该=0则称构空集模记做，论定义2.2.3全集每设构X中的模特集合模如果对法∈X模均有该=1则称构：全集模记做Ω论 13

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=义2妆祚子∈：FAB均为X21模.∈的如果对于x∈X的均1u模 ≤模则称B包含A的→称A是B1子∈的记做ACB。 =义2妆将等∈：FAB均为X21模.∈的铷果对于z∈X的均1μ模 =4模则称B与A相等的记做A=B。 =义2妆记支∈：FA为X中1模.∈合的称suppA={z|u模>0}为模 ·∈A支∈。一个论域21模.∈1隶属函数是千差万别1。下面将给出缸是实数∈21 很1用1又常见1（类隶属函数： 1.偏小型（戒2型) μs模= 棋+a模-c))-1x>c 模2-4) 1 I<C 式中的∈X是任一点的a}b是两个大于零1参数的隶属函数如图2.2-1所示。 2.偏大型（戒下型) 0 模= T<C 模2-5) 棋+a模-c-b-lx≥c 式中的∈X是任一点的}b是两个大于零1参数的隶属函数如图2.2-2所示。显s 戒2型}戒下型是对偶1。 3.中间型（对称型→正态型) hu模=ek-c 模2-6) 式中的c∈X是任一点的是大于零1参数的隶属函数如图22-3所示。这是一类义→描述近似程21模·∈。 2.2.3模糊集合的运算及性质既s模.∈是普通∈合1推广的挪么普通∈】一些性质亦可以相应地被扩展到模 ·∈中。现2给出模.∈之间1运算的它们1=义与普通∈1=义相平行的是普通e运算1推广。由于模.∈中没1点与∈之间绝对隶属-系的因而其运算1 =义只能以隶属函数之间1一系来u=。 14

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30400的南00 20 30400600300 图2.2-1偏小型图2.2-2偏大型图2.2-3中间型定义2.2.7模⑦集合的并、交、补运算：设宁和的运中的模⑦集，记于和以的并、交集中别为宇U和宇条以的补集为斗则对叫的属属函定素以表示为与强（义=max{与（义，与（刘} (2.2-7）与（义=min{与（义，5与（义} (2.2-8) 与上义=1-与（义 (2.2-9) 模0集合的并、交、补运算具有如下基性质，同样对叫也的成对出现的。 1.交换律：宇U以=以U手，于条以=以条子 2.交等律：宇U宇=宇，宇条子=宇 3.结合律：（宇UUC=宇U(以UC),(宇条以条C=宇条（以条G) 4.中配律：宇条（以UC)=(宇条必U(宇条G),手U(以条C)=(宇U条（宇UC) 5.吸导律：（子条以U以=以（于U必条以=以 6.两极律：宇U2=2,宇条2=于于U1=于，宇条1=1 7.知原律：（刊1=于 8.对偶律：（宇U必1=1条，（行条必1=孔U 上述性质的证明素直接利用属属函定的运算来验证。应该强调指出的的，与普通集合不同，模⑦集合不在满足互补律，即宇U1=2,和宇条孔=1一般不再成述。这一事实表明模⑦集合不再具有“非此即彼”或“非真即伪”的中明性。也就的此，这的模o集带来的n质特征。出了上述的并、交、补运算外，模⑦集合尚有如下运算。在下示各定义中，均假设于和的运上的模⑦集合。 15

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x µ(x) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x µ(x) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x µ(x) $!$ $!$$ $!$% 99 99 Ǳ 9 9 9 9 9 Ǳ 9 Ǳ # 2 $$ / # $$ " # $$ ) ! 9 9 # 9 9 9 9 # 9 9 $! 9 9 # 9 9 9 # 9 %! 9 9 9 # 9 9 9 9 9 9 # 9 9 9 ,! 9 9 9 # 9 9 9 9 9 9 9 # 9 9 9 9 -! 9 9 9 # 9 9 9 9 # 9 .! 9 (#( 9 ( # 9 * # 9 # /! 9 # "! 9 9 # 9 9 9 9 # 9 9 9 9 # ( 9 9 # 99 -

定义2.2.8模糊集的代数积：称A.B为模糊集合A和B的代数积，A·B的隶属函数μ：B(口)为 4i(x)=4i(x)·4B(x) (2.2-10) 这里“”表示普通实数乘法。定义2.2.9模糊集的代数和：称A+B为模糊集合A和B的代数和，A+B的隶属函数4+B(c)为 i+(r)=min{1,4(x)+4B(x)} (2.2-11) 定义2.2.10模糊集的环和：称A⊕B为模糊集合A和B的环和，A⊕B的隶属函数4B(c)为 4a⊕B(x)=4i(x)+B(c)-4a(x)·μB(x) (2.2-12) 定义2.2.11模糊集的对称差：称A⊙B为模糊集合A和B的对称差，A⊙B的隶属函数49B(a)为 ieB(x)=4a(x)-4B(x川 (2.2-13) 上述运算各有不同的特点，我们可以根据实际问题选择使用。 §2.3分2运模的扩集原模分解定理和扩展原理是模糊集合论中的两个基本定理。分解定理是联系普通集和模糊集的桥梁，它是把模糊集论中的问题转化为普通集论中问题的重要工具。在普通集合论中，可以将两个论域之间的点函数扩展为集函数。在模糊集合论中，由于没有点对集的属于关系，这种扩展就尤为重要。因此，扩展原理在模糊集之间关系的研究中将有着极其广泛的应用。质.1性截集定义2.3.1a截集：设A为X中的模糊集，对任意的a∈[0,1]，集合 (A)a=Aa={z|ae)≥a} (2.3-1) 16

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定函A的α截述，或定a水平截述，而述合相)a=Aa={x4,在)>a} 亿.3-2) 定函A的α的强截述，或开截述。截是述合A本身模一及没有确称边界的述合，但模如果约称，凡x对4的隶属度达到或超过某及α水平者才算模4的成员，那么，截是述合A就变成普关述合Aag 截述具有以下性质： 1.a∈[0.1]，若ACB,则Aa≤Ba,Ai C Ba 2.若a.6∈[0.1]，且a≤3，则Aa2A3,Aa2A3 3.B)=AgUBa,B)i=AdUBa 4.B)a=Agn Ba,B)a=Ad0 Ba 5.不a=0时，A。=X,Aa=原剩根据截述的称义，不难对的扩性质作出证明。称义2.3.2截是述的核：不α=1时，截是述A的α截述A运函A的核：若A还空，定A函正规截是述，否则定函非正规截是述。核A摸指完全属于A的成员，随着a值从1下降趋于0，A从A的核扩张函A的支述。极2.31算扩了核、截述属支述的算合。 u=u(x) suppA 极2.3-1核、截述与支述的算合示意极 17

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西安电子科技大学：《模糊理论与模糊系统 Fuzzy Theory and Fuzzy Systems》课程教学资源（课件讲义）第二章 模糊理论基础 第一部分 普通集合、模糊集合、分解定理与扩展原理

西安电子科技大学：《模糊理论与模糊系统 Fuzzy Theory and Fuzzy Systems》课程教学资源（课件讲义）第二章模糊理论基础第一部分普通集合、模糊集合、分解定理与扩展原理