电子科技大学：《电路分析基础 Electric Circuit Analysis》课程教学资源（授课教案）第十四章 动态电路的频域分析

第十四章动态电路的频域分析 动态电路的基本分析方法是建立电路的微分方程， 并求解微分方程得到电压电流，对于高阶动态电路而言， 建立和求解微分方程都十分困难。对于单一频率正弦激 励的线性时不变电路，为避免建立和求解微分方程，常 常采用相量法。相量法是将正弦电压电流用相应的相量 电压电流表示，将电路的微分方程变换为复数代数方程 来求解，得到相量形式的电压电流后，再反变换为正弦 电压电流

第十四章 动态电路的频域分析 动态电路的基本分析方法是建立电路的微分方程， 并求解微分方程得到电压电流，对于高阶动态电路而言， 建立和求解微分方程都十分困难。对于单一频率正弦激 励的线性时不变电路，为避免建立和求解微分方程，常 常采用相量法。相量法是将正弦电压电流用相应的相量 电压电流表示，将电路的微分方程变换为复数代数方程 来求解，得到相量形式的电压电流后，再反变换为正弦 电压电流

在进行正弦稳态分析时，为了避免建立微分方程， 我们将电路的时域模型变换为相量模型，再根据相量形 式的KCL、KVL和VCR直接建立复数的代数方程来求 解。具体分析步骤如图14一1所示： 电路时域模型 变换 电路相量模型 KCL KVL VCR 电路微分方程 变换 复数代数方程 求解 正弦电压电流 反变换 相量电压电流 图14一1

在进行正弦稳态分析时，为了避免建立微分方程， 我们将电路的时域模型变换为相量模型，再根据相量形 式的KCL、KVL和VCR直接建立复数的代数方程来求 解。具体分析步骤如图14－1所示： 图14－1

能不能找到一种类似的变换方法来求解一般线性时 不变电路的全响应，而不必列出微分方程和确定初始条 件呢？回答是肯定的，我们可以采用拉普拉斯变换，用 类似的方法来分析任意信号激励下，线性时不变动态电 路的完全响应，其具体分析步骤如图14一2所示： 电路时域模型 拉氏变换 电路频域模型 KCL KVL VCR 电路微分方程 拉氏变换 频域代数方程 求解 时域电压电流 拉氏反变换 频域电压电流 图14-1

能不能找到一种类似的变换方法来求解一般线性时 不变电路的全响应，而不必列出微分方程和确定初始条 件呢？回答是肯定的，我们可以采用拉普拉斯变换，用 类似的方法来分析任意信号激励下，线性时不变动态电 路的完全响应，其具体分析步骤如图14－2所示： 图14－1

电路时域模型 拉氏变换 电路频域模型 KCL KVL VCR 电路微分方程 拉氏变换 频域代数方程 求解 时域电压电流 拉氏反变换 频域电压电流 图14-1 采用频域分析方法还可以得到线性时不变电路的很 多基本性质。本章先介绍拉普拉斯变换和动态电路的频 域分析方法，然后介绍一种采用频域分析法的动态网络 分析程序，供读者学习电路课程时使用

图14－1 采用频域分析方法还可以得到线性时不变电路的很 多基本性质。本章先介绍拉普拉斯变换和动态电路的频 域分析方法，然后介绍一种采用频域分析法的动态网络 分析程序，供读者学习电路课程时使用

§14一1拉普拉斯变换 时间函数f孔)的拉普拉斯变换记为L【f(t)】,其定义为 L1f(=∫。fea 其中S=o+jω称为复频率。积分的上下限是固定的， 积分的结果与无关，只取决于参数S,它是复频率的函 数，即 L f(t=F(s) 在电路分析中，将时域的电压()和电流()的拉普 拉斯变换记为U(s)和(s)

§14－l 拉普拉斯变换      0 [ f (t)] f (t)e dt s t L 时间函数f(t)的拉普拉斯变换记为 L [ f (t)] ，其定义为 L [ f (t)]  F(s) 其中 称为复频率。积分的上下限是固定的， 积分的结果与t无关，只取决于参数s，它是复频率的函 数，即 s    j 在电路分析中，将时域的电压u(t)和电流i(t)的拉普 拉斯变换记为U(s)和I(s)

例如，单位阶跃函数()的拉普拉斯变换为 L【f(l=。&()e"dt =∫e"d 下面给出常用函数的拉普拉斯变换

例如，单位阶跃函数ε(t)的拉普拉斯变换为 s s t f t t t s t s t s t 1 e 1 e d [ ( )] ( )e d 0 0 0                L  下面给出常用函数的拉普拉斯变换

F(s)=∫f)e"dt δ(t) 1 (t) 1/s s+a ⊙ sin(@t) s2+@ S cos(wt) S2+0 nl t" n+1 K K 2|K|ecos(ot+∠K) 十 sta-jo s+a+j@

j j 2 | | e cos( ) ! cos( ) sin( ) 1 e ( ) 1/ ( ) 1 ( ) ( ) ( )e d 1 2 2 2 2 0                                  s K s K K t K s n t s s t s t s t s t f t F s f t t t n n t s t

下面给出拉普拉斯变换的性质 性质 关系式 线性性质 L [a(t)+af()]=aF(s)+a2F2(s) 微分规则 L当1=Fs-f0.) 积分规则 Lif(传)d51=F(s) 其中 L Lf(t)]=F(s) L(t=F(s) L【f2(t]=F,(s)

下面给出拉普拉斯变换的性质 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 L a f t  a f t  a F s  a F s ] ( ) (0 ) d d [    sF s f t f L ( ) 1 [ ( ) ] 0- F s s f d t   L   性质 关系式 线性性质 微分规则 积分规则 其中 [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) 1 1 2 2 f t F s f t F s f t F s    L L L

§14一2动态电路的频域分析 若将时域的电压（①）和电流i()的拉普拉斯变换记为 (s)和(s),则时域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律 分别表示为 ∑i()=0 对每个结点 ∑4(t)=0 对每一回路 频域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律分别表示为 ∑I(s)=0 对每个结点 ∑Us)=0 对每一回路

§14－2 动态电路的频域分析 若将时域的电压u(t)和电流i(t)的拉普拉斯变换记为 U(s)和I(s)，则时域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律 分别表示为 频域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律分别表示为     对每一回路 对每个 ( ) 0 ( ) 0 u t i t 结 点     对每一回路 对每个 ( ) 0 ( ) 0 U s I s 结 点

对于R、L、C元件电压电流的关系式如下所示： 时域关系 频域关系 uR(t)=RiR(t) UR(s)=RIR(s) 0=打4(5a5+0) g=o+0) UL(s)=sLIL(s)-LiL(O) 用=255*%0)U.o=e+0） Ic(s)=sCUc(s)-Cuc(0) 其中(0人4c0)表示电感电流和电容电压的初始值

对于R、L、C元件电压电流的关系式如下所示： ( ) ( ) (0 ) (0 ) 1 ( ) 1 ( )d (0 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) 1 ( ) 1 ( )d (0 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C C C C t 0 C C L L L L L L L t 0 L L R R R R - -                       I s sCU s C u u s I s sC i u U s C u t U s sLI s Li i s U s sL u i I s L i t u t R i t U s R I s     时域关系 频域关系 其中 i L (0 )、uC (0 ) 表示电感电流和电容电压的初始值