电子科技大学：《电路分析基础 Electric Circuit Analysis》课程教学资源（授课教案）第十一章 正弦稳态的功率、三相电路

第十一章正弦稳态的功率三相电路 本章先讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、 平均功率和功率因数。再讨论正弦稳态单口网络 向可变负载传输最大功率的问题以及非正弦稳态 平均功率的计算。最后介绍三相电路的基本概念

第十一章 正弦稳态的功率 三相电路 本章先讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、 平均功率和功率因数。再讨论正弦稳态单口网络 向可变负载传输最大功率的问题以及非正弦稳态 平均功率的计算。最后介绍三相电路的基本概念

§11一1瞬时功率和平均功率 一、瞬时功率和平均功率 图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向 的条件下，它吸收的功率为 N p(t)=u(t)i(t) 11-1)

§11－1 瞬时功率和平均功率 p(t)  u(t)i(t) (111) 一、瞬时功率和平均功率 图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向 的条件下，它吸收的功率为

在单口网络工作于正弦稳态的情况下。端口电压和电 流是相同频率的正弦电压和电流，即 u(t)=Um cos(at+)=2U cos(at+w) i(t)=Im cos(at+;)=2I cos(@t+;) 其瞬时功率为 p(t)=(t)i(t)=U cos(ot+yu)Im cos(ot+必：) =IUImlcos(W.-W)+cos(2+)l =UI coso+UI cos(2at+2v-) (11-2) 2cosx.cosy=cos(x-y)+cos(x+y)

在单口网络工作于正弦稳态的情况下。端口电压和电 流是相同频率的正弦电压和电流，即 ( ) cos( ) 2 cos( ) ( ) cos( ) 2 cos( ) m i i m u u                 i t I t I t u t U t U t 其瞬时功率为 2cos x  cos y  cos(x  y)  cos(x  y) cos cos(2 2 ) (11 2) [cos( ) cos(2 )] 2 1 ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) u m m u i u i m u m i                            U I U I t U I t p t u t i t U t I t

p(t)=UI coso+UI cos(2at+2w-p) 其中平~4是电压与电流的相位差，瞬时功率的波形 如图所示 0 图11-2正弦稳态单口网络的瞬时功率和平均功率

( ) cos cos(2 2 ) p t  UI  UI t   u  其中=u -i是电压与电流的相位差,瞬时功率的波形 如图所示 图11-2正弦稳态单口网络的瞬时功率和平均功率

周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为 平均功率，用P表示，其定义是 P= -JUIcwg-UIcos(2ot+y.+v.)d UI cos p (11-3) 由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效 值乘积U有关，还与电压电流的相位差y4有关，式 中的因子cos称为功率因数。平均功率是一个重要的概念， 得到广泛使用，我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功 率，就是指它的平均功率，简称为功率

周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为 平均功率，用P表示，其定义是 cos (11 3) [ cos cos(2 )]d 1 ( )d 1 0 0               U I U I U I t t T p t t T P T u i T 由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效 值乘积UI有关，还与电压电流的相位差=u -i有关，式 中的因子cos称为功率因数。平均功率是一个重要的概念， 得到广泛使用，我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功 率，就是指它的平均功率，简称为功率

下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。 1.单口网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻。 此时单口网络电压与电流相位相同，即9必=0， c0s01,式(11-2)变为 p(t)=UI cos+UI cos(2at+2w-) p(t)=UI+UI cos(2@t+2w)

( ) cos cos(2 2 ) p t  UI  UI t   u  ( ) cos(2 t 2 )  UI UI    u p t 下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。 1. 单口网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻。 此时单口网络电压与电流相位相同，即=u -i =0, cos=1，式(11－2)变为

其波形如下图所示。 UI 0 图113电阻的瞬时功率和平均功率 瞬时功率()在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸 收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为 U'2 P=UI=IR= (11-4) R

其波形如下图所示。 (11 4) 2 2     R U P UI I R 瞬时功率p(t)在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸 收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为 图11-3 电阻的瞬时功率和平均功率

p(t)=UIcosp+UI cos(2at+2w-p)(11-2) 2.单口网络是一个电感或电容，或等效为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即平 %±90°，c0s00,式(11-2)变为 PL(t)=UI cos(2ot+2w-90) UI sin(2ot+2v) Pc(t)=UI cos(2@t+2w+90) UI sin(2@t+2w-180)

( ) cos cos(2 2 ) (11- 2) p t  UI  UI t   u  sin(2 2 180 ) ( ) cos(2 2 90 ) sin(2 2 ) ( ) cos(2 2 90 ) u C u u L u                       U I t p t U I t U I t p t U I t 2. 单口网络是一个电感或电容，或等效为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即 =u - i =90, cos=0，式(11－2)变为

其波形如图(a)和(b)所示。其特点是在一段时间吸收功 率获得能量；另外一段时间释放出它所获得的全部能量。 (a) (b) 图11-4电感和电容的瞬时功率和平均功率 此时平均功率的表达式(11-3)变为 P=UIc0s(±90)=0 (11-5) 这说明在正弦稳态电路中，任何电感或电容吸收的平 均功率为零

此时平均功率的表达式(11-3)变为  cos(90 )  0 (11 5)  P UI 这说明在正弦稳态电路中，任何电感或电容吸收的平 均功率为零。 图11-4 电感和电容的瞬时功率和平均功率 其波形如图(a)和(b)所示。其特点是在一段时间吸收功 率获得能量；另外一段时间释放出它所获得的全部能量

3.由RLC元件构成的单口网络，其相量模型等效为一 个电阻与电抗的串联或一个电导与电纳的并联。当等效电 阻和等效电导为正时，其电压电流的相位差在-90°到+90° 之间变化，功率因数cos在0到1之间变化。 此时瞬时功率()随时间作周期性变化，所吸收的平均 功率为 P=UIcoso=I'Re(Z)=U2Re(Y) (11-6) 式中的Rε(Z是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗 的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。 与此相似，式中的Re(Y)是单口网络等效导纳的电导分 量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率

3.由RLC元件构成的单口网络，其相量模型等效为一 个电阻与电抗的串联或一个电导与电纳的并联。当等效电 阻和等效电导为正时，其电压电流的相位差在-90到+90 之间变化，功率因数cos在0到1之间变化。 此时瞬时功率p(t)随时间作周期性变化，所吸收的平均 功率为 cos Re( ) Re( ) (11 6) 2 2 P  UI   I Z  U Y  式中的Re(Z)是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗 的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。 与此相似，式中的Re(Y)是单口网络等效导纳的电导分 量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率