上海交通大学：《船舶流体力学》课程教学资源（课件讲稿）第6章 势流基本理论

h 上游克通大学 Shanghai Jiao Tong University 第六章 势流基本理论 有旋运动 理想流体 无旋运动 势流

Shanghai Jiao Tong University 第六章 势流基本理论 理想流体 有旋运动 无旋运动 势流

上浒充通大￥ 6.1势流运动的基本控制方程 Shanghai Jiao Tong University 不可压流体势流属于理想流体的运动，因此需要满足理想 流体的Euler方程： OV:V.VV--LVp+I. V.V=0 公-w V.V=0 由于势流是无旋流动，所以存在速度势，即： 由于流体不可压，势流速度势满足Laplace方程： V·7=0 V2=0

Shanghai Jiao Tong University 6.1 势流运动的基本控制方程 不可压流体势流属于理想流体的运动，因此需要满足理想 流体的Euler方程： 1 p , t ρ ∂ + ⋅ =− + ∂ V VV f ∇ ∇ ∇⋅ = V 0 2 1 , 2 p t ρ ⎛ ⎞ ∂ +∇⎜ ⎟− × = − + ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ V V V Ω ∇ f ∇⋅ = V 0 由于势流是无旋流动，所以存在速度势，即： V = ∇ φ 由于流体不可压，势流速度势满足Laplace方程： 2 ∇ ⋅∇ = ⇒ ∇ = φ φ 0 0

上降充通大￥ 6.1势流运动的基本控制方程 Shanghai Jiao Tong University 由于流体不可压，而且假设质量力有势，则Euler?方程可改写成： -:-m =0 0t2 0 0t φ+卫+=C(0 2 0 这就是势流的动力学条件(Dynamic Boundary Conditions),可 以用来确定压力分布

Shanghai Jiao Tong University 6.1 势流运动的基本控制方程 由于流体不可压，而且假设质量力有势，则Euler方程可改写成： 2 2 p t φ φ ρ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ ∇ ⎛ ⎞ ∇ + ∇ ⎜ ⎟ = − − ∇Π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∇ 2 0 2 p t φ φ ρ ⎛ ⎞ ∂ ∇ ∇⎜ + + +Π⎟= ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ 2 ( ) 2 p C t tφ φ ρ ∂ ∇ + + +Π = ∂ 这就是势流的动力学条件(Dynamic Boundary Conditions)，可 以用来确定压力分布

上游充通大睾 6.1势流运动的基本控制方程 Shanghai Jiao Tong University 除了上述方程，速度势还需满足物面条件， 即对于不可渗透 (impermeable boundary)物面上的流体要随物体一起运动： V.n=Un→Vpn=Un n=(n,n2,n3) 这就是势流的运动学条件 vφ=0inV (Kinematic Boundary Conditions). =U,=fonB On

Shanghai Jiao Tong University 6.1 势流运动的基本控制方程 除了上述方程，速度势还需满足物面条件，即对于不可渗透 (impermeable boundary)物面上的流体要随物体一起运动： BonfU n n == ∂ φ∂ Vin0 2 =φ∇ ( ) = n,n,nn 321 v U v φ n Vn Un n U ⋅ = ⋅ ⇒∇⋅ = 这就是势流的运动学条件 (Kinematic Boundary Conditions)。 n ∂ φ = ∂ U n

上浒充通大￥ 6.1势流运动的基本控制方程 Shanghai Jiao Tong University 此外，还需满足无穷远处条件和初始条件： 无穷远处条件： Vφ= U 00 p= p。 初始条件： 7中=0=Uo(x),p=0=po(x)

Shanghai Jiao Tong University 6.1 势流运动的基本控制方程 此外，还需满足无穷远处条件和初始条件： 无穷远处条件： φ , p p ∇= = U ∞ ∞ 初始条件： 0 0 0 0 ( ), ( ) t t φ p p ∇ = = = U x = x

上游充通大睾 6.1势流运动的基本控制方程 Shanghai Jiao Tong University 因此，不可压势流运动的基本控制方程为： 求压力时出现了非线性项， 基本方程 2 但没有出现p与中的耦合。 动力学条件 +Π=C(t) 0 运动学条件 U (物面条件) 无穷远处条件 V o p= 初始条件 [o=Uo(x),pl-o=Po(x)

Shanghai Jiao Tong University 6.1 势流运动的基本控制方程 因此，不可压势流运动的基本控制方程为： 2 2 0 0 0 0 0 ( ) 2 ( ) , ( ), ( ) n t t p C t t p p p p φ φ φ ρ φ φ φ ∞ ∞ = = ⎧ ∇ = ⎪ ⎪ ∂ ∇ + + +Π = ⎪ ∂ ⎪ ⎨ ∂ ⎪ = ∂ ⎪ ⎪ ∇= = ⎪ ∇ = = ⎩ U n U U x x 物面条件 基本方程 动力学条件 运动学条件 无穷远处条件 初始条件 求压力时出现了非线性项， 但没有出现 p 与 φ的耦合

上浒充通大￥ 6.1势流运动的基本控制方程 Shanghai Jiao Tong University 对于二维不可压势流问题，还存在流函数Ψ，即： V= 8x Vy=0 in V 代入无旋条件后，可以得到： 8"w 2 yg on B 同样，流函数也要满足物面条件，即对于不可渗透 (impermeable boundary)物面上的流体要随物体一起运动： =g( 常数，即是流线)

Shanghai Jiao Tong University 6.1 势流运动的基本控制方程 对于二维不可压势流问题，还存在流函数Ψ，即： u v , y x ∂ ∂ ψ ψ = =− ∂ ∂ 代入无旋条件后，可以得到： 2 2 2 2 2 0 x y ψ ψ ψ ∂ ∂ ∇ =+= ∂ ∂ Vin0 2 =ψ∇ ψ=g on B 同样，流函数也要满足物面条件，即对于不可渗透 (impermeable boundary)物面上的流体要随物体一起运动： ψ = g ( ) 常 数 ，即 是 流 线

上游充通大睾 6.1势流运动的基本控制方程 Shanghai Jiao Tong University 今后会经常用到直角坐标、柱坐标、球坐标，这里给出三种 坐标系下的速度势表达式： V=7φ， 720=0 直角坐标(Cartesian)(x,y,z): (X.,y,z) >x V= V29= 02 日2 2中 0z2

Shanghai Jiao Tong University 6.1 势流运动的基本控制方程 今后会经常用到直角坐标、柱坐标、球坐标，这里给出三种 坐标系下的速度势表达式： z x (x,y,z) y 直角坐标(Cartesian) (x, y, z)： 2 V =∇ ∇ = φ φ , 0 , , x y z φ φ φ φ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ =∇ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ V 222 2 222 x y z φ φ φ φ ∂∂∂ ∇= + + ∂∂∂

上浒充通大￥ 6.1势流运动的基本控制方程 Shanghai Jiao Tong University 柱坐标(Cylindrical)(r,8,z): 个 r2=x2+y2, Z 0=tan(y/x) (L,0,z)∈ 2← 0中10中0功 V2φ= 20 10φ r Or r2a0+0z2 + 10 r Or ar

Shanghai Jiao Tong University 6.1 势流运动的基本控制方程 柱坐标(Cylindrical) (r, θ, z)： 1 , , rr z φ φ φ φ θ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ =∇ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ V ( ) 222 1 , tan r xy θ y x − = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 r rr r r rr r z φ φ φ φ φφ φ θ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂∂ ∇= + + + 142 43 ∂ ∂ ∂∂ y z x r θ z θ,r,( )z

上浒充通大￥ 6.1势流运动的基本控制方程 Shanghai Jiao Tong University 球坐标(Spherical)(r,B,): Z r2=x2+y2+z2, r(sin) 0=c0s1(x/r) (,,p)∈ o tan (z/y) V 0功1010φ -v-ar0'rsing ao V2= aφ，200 1 ∂ r2 m0器+器 r Or 1o0 20 r2 or

Shanghai Jiao Tong University 6.1 势流运动的基本控制方程 球坐标(Spherical) (r, θ, φ)： 1 1 , , rr r sin φ φ φ φ θ θ ϕ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ =∇ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ V ( ) ( ) 2 2 22 1 1 , cos tan r x y z x r z y θ ϕ − − =++ = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 sin sin sin r r r r r rr r r φ φ φ φ φφ φ θ θ θ θ θϕ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ ∇= + + ⎜ ⎟ + 1424 ∂ ∂ ∂∂ ∂ 3 ⎝ ⎠ z x y r(sinθ) ϕ θ θ ϕ),(r