贵州师范学院：《理论力学》课程PPT教学课件（讲稿）Lagrange方程

Lagrange方程

Lagrange 方程

Lagrange方程 一、基本形式的L方程 1.D'Alembert--Lagrenge?方程 体系由n个质点组成，每个质点有 m,=,+或者-m,++反=0 ∑(-m月成++R)=0

大学 物理 Lagrange 方程 一、基本形式的L方程 1. D’Alembert-Lagrenge方程 体系由n个质点组成，每个质点有 mi ri = Fi + Ri − mi ri + Fi + Ri = 0         或者 ( ) 0 1  −  +  +  = = i n i i i i i i i m r r F r R r          

Lagrange方程 对理想约束∑R·=0,则 2(-m成+成=0 称为D'Alembert-Lagrenge方程

大学 物理 Lagrange 方程 对理想约束 0,则 1   = = i n i i R r    称为D’Alembert-Lagrenge方程 ( 0 1  − +  = = n i i i i i m r F r     ）

Lagrange方程 2.把D-L方程以广义坐标表示 先证明： d dt 0) 元 da aqa Or Oda Oqa 如

大学 物理 Lagrange 方程 2. 把D-L方程以广义坐标表示 先证明：          =     =       q r q r q r q r dt d i i i i        ( )

Lagrange方程 证：体系受k个几何约束s=3n-k个qa 万=(91,92,93…，9，) d成_元q++ 所=之 a dt aq t台 Oqa 8t 成 orSqa or Lade 正不是q的函数，· or Oqa Oqa

大学 物理 Lagrange 方程 证：体系受k个几何约束s=3n-k个qα   = =   =   +   =   + +   = = = s i i i s i i i i i i i s q q r r t r q q r t r q q r dt dr r r r q q q q t 1 1 1 1 1 2 3 ( , , , , )                        不是  的函数，   q t r q r i s i         = , 1  q r q ri i   =       

Lagrange方程 是q的函数 aqa d 证)=之8 )qB+da ) dt oqa台agg`dq 0gdn*ad or 89a 7304n a aqa

大学 物理 Lagrange 方程 是  的函数  q q ri                     q r t r q q r q t q r q q r q q r t q q r q q r dt d i s i i i i s i i s i   =   +     =    +     =     +     =       = = =             ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1

Lagrange方程 宫房：成-名（心听+三恶可 一m 恶空 or&qa n 令Pa= a 2. 正 i=1 i-l 之m d 前 n P d or dt a成

大学 物理 Lagrange 方程        = = = = = = =   +    = −    − +  = − +  s i n i i s i n i i i n i s i i i i n i i i i i q q r q F q r m r q q r m r F r m r F 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( (                           ） ）    q r dt d m r q r m r dt d P i n i i i i n i i i   −    =    = =       1 1   q r Q F i n i i   =  =    1  q r P m r i n i i i   =  =    1 令  q r m r q r m r dt d i n i i i i n i i i   −    =    = =          1 1

Lagrange方程 7 2 m 1 OT= a航 OT= a前 qa qa m。 .Pa d OT aT dt oqa qa dt oqa )+20.M。=0 a=1 d OT=Ca (C=1,2,3,4…S) dt oqa qa 基本形式的L方程

大学 物理 Lagrange 方程    q r m r q T q r m r q T T m r i n i i i i n i i i i n i i   =      =    =    = = =             1 1 2 1 , 2 1    q T q T dt d P   −    =  ( ) 0 1 1 + =   −   −  = =       Q q q T q T dt d s s  ——基本形式的L方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d   = =   −       

Lagrange方程 d oT 0 =a (a=1,2,3,4…S） dt oda qa 各项的物理意义： 1°9a为广义速度 OT 1 2° 为广义动量，如T=三mx Oqa aT二m 2 3° 为广义力 aqd

大学 物理 Lagrange 方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d   = =   −        各项的物理意义： 1  q   为广义速度 mx x T T mx q T      =   =   , 2 1 2 为广义动量，如  为广义力   q r Q F i n i i   =  =    1 3

Lagrange方程 d oT dt oda (a=1,2,3,4…S） qa 4° 仿照 oT dt aqa 。 a 称为Lagrange力 dt oqa 可见：L方程是以q为变量的s个二阶线性微分方程 组，方程个数=自由度数，约束越多，自由度越少， 方程越少，只要写出T,Q,代入方程即可得到运 动方程. 适用条件：理想的完整体系

大学 物理 Lagrange 方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d   = =   −        可见:L方程是以qα为变量的s个二阶线性微分方程 组, 方程个数=自由度数，约束越多，自由度越少， 方程越少，只要写出T，Qα，代入方程即可得到运 动方程. 适用条件：理想的完整体系 4 仿照 , ( ) , 称为Lagrange力. q T Q q T q T dt d F R dt dP       +   =   = +   