北京大学：《离散数学》系列课程之一《集合论与图论》第12讲 序数

第12讲序数 内容提要 良序,序数,0 序数与基数 ZFC+CH系统 CO‖atz猜想 《集合论与图论》第12讲

《集合论与图论》第12讲 1 第12讲 序数 内容提要 良序, 序数, ω 序数与基数 ZFC+CH系统 Collatz猜想

两个基本过程 匹配( matching):多少,大小(基数)--双射 {a>{0}=1 {ab}>{0,1}2 {ab,c}→{0,1,2}=3 计数(counting)首尾,先后(序数)--良序 0→)1→>2->3→ a>b C→>b→>a 《集合论与图论》第12讲

《集合论与图论》第12讲 2 两个基本过程 匹配(matching): 多少,大小(基数)----双射 {a} → {0}=1 {a,b} → {0,1}=2 {a,b,c} → {0,1,2}=3… 计数(counting): 首尾,先后(序数)----良序 0→1→2→3→… a→b c→b→a ……

基数 輪0126,N0, K<2K K=2×(x为无穷基数 K+K=KuK=K.(K为无穷基数) 秦连续统假设( continuum hypothesis K(N<K<2) 《集合论与图论》第12讲

《集合论与图论》第12讲 3 基数 κ < 2κ . κκ = 2κ. (κ为无穷基数) κ+κ = κ•κ = κ. (κ为无穷基数) 连续统假设(continuum hypothesis): 0,1,2,L , , 2 , 2 , 2 ,L 2 0 0 0 2 3 2 0 1 2 ℵ ℵ ℵ ℵ = ℵ = ℵ = ℵ ( 2 ) 0 0 ℵ ¬∃κ ℵ < κ <

序数 (ordinality) 秦集合--双射-势--基数 婚良序集--保序双射-同构-序数 良序集的同构= 良序集,双射fAB.满足 X三(b,2,下字母 f(0)=b,f(1)=p,f(2)=z 《集合论与图论》第12讲

《集合论与图论》第12讲 4 序数(ordinality) 集合-------双射----------等势----基数 良序集----保序双射----同构----序数 良序集的同构≅: 良序集,,双射f:A→B,满足 x ≅ , f(0)=b, f(1)=p, f(2)=z

良序 良序任何非空子集都有最小元的偏序 良序集的计数过程: to=min(a ), t=min(A-[to), 2=min(A1:4) <t<t<.< 《集合论与图论》第12讲

《集合论与图论》第12讲 5 良序 良序:任何非空子集都有最小元的偏序 良序集的计数过程: t0 = min( A ), t1 = min( A-{t0} ), t2 = min( A-{t0,t1} ), …… t0 < t1 < t2 <…<…

序数:0,1,2, 0 0=是良序集 3 6 《集合论与图论》第12讲

《集合论与图论》第12讲 6 序数: 0, 1, 2, … 0 1 2 3 4 5 6 … 0=∅是良序集

序数:0,0+1,0+2, 0)+1 0+2 0)+3 0+4 ●--心- 《集合论与图论》第12讲

《集合论与图论》第12讲 7 序数: ω, ω+1, ω+2, … ω ω+1 ω+2 ω+3 ω+4 ……

序数:20,…,30, 0+0=20-+-+0-+-0-0-+0- 20+1 20+2 30 30+1 《集合论与图论》第12讲

《集合论与图论》第12讲 8 序数: 2ω, …, 3ω, … ω+ω=2ω 2ω+1 2ω+2 … 3ω 3ω+1 …

序数:02,02+1 豢00=0-0 02+1 02+2 03+1 《集合论与图论》第12讲

《集合论与图论》第12讲 9 序数: ω2, ω2+1, …, ω3, … ωω=ω2 ω2+1 ω2+2 … ω3 ω3+1 …

序数:0°.6,00",6 豢0 次 豢 00次 《集合论与图论》第12讲

《集合论与图论》第12讲 10 序数: ωω …… …… ω ω ω ω次 ωω次 ,L , ,L ω ω ω ω ω