《高等数学》课程教学资源：第十章 曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 教学目的:了解对弧长曲线积分的概念和性质,理解和掌握对弧长曲线积分的计 算法和应用 教学重点:弧长曲线积分的计算 教学难点:弧长曲线积分的计算 教学内容: 、对弧长曲线积分的概念与性质 1.曲线形构件质量 设一构件占xoy面内一段曲线弧L,端点为A,B,线密度p(x,y)连续 求构件质量M。 解(1)将L分割△(=12,…,n) (2)(x1,y2)∈△,△M≈p(x,y)△s (3)M≈∑p(x2y 图10-1-1 4)M=lim∑p(x,y)A=max(As,As2,…An} 2.定义L为xoy面内的一条光滑曲线弧,f(x,y)在L上有界,用M将L分成n小段AS, 任取一点(,m)∈AS(=12,3,n),作和∑f(51,AS,令 元=mx{As,As2,…,Asn},当λ→0时,lim∑f(5,)S存在,称此极限值为 f(x,y)在L上对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)记为 f(x,y)=lim∑f(5,nS 注意:(1)若曲线封闭,积分号中f(x,y)ds

第十章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计 算法和应用 教学重点：弧长曲线积分的计算 教学难点：弧长曲线积分的计算 教学内容： 一、对弧长曲线积分的概念与性质 1． 曲线形构件质量 设一构件占 xoy 面内一段曲线弧 L ，端点为 A, B ，线密度 (x, y) 连续 求构件质量 M 。 解（1）将 L 分割 i s (i =1,2,  ,n) （2） ( , ) i i  x y  i s ， Mi  i i i (x , y )s （3） ( ) i n i i i M   x y s =1  , 图 10-1-1 （4） 0 1 lim ( , ) n i i i i M x y s   → = =   max{ , , , } 1 2 n  = s s  s 2．定义 L 为 xoy 面内的一条光滑曲线弧， f (x, y) 在 L 上有界，用 Mi 将 L 分成 n 小段 i S ， 任取一点 i i  Si ( , ) (i n =1,2,3..., ) ， 作和 i n i  f i i S =1 ( , ) ，令 max{ , , , } 1 2 n  = s s  s ，当  → 0 时， 0 1 lim ( , ) n i i i i f S    → =   存在，称此极限值为 f (x, y) 在 L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为 =  f x y ds L ( , ) 0 1 lim ( , ) n i i i i f S    → =   注意：（1）若曲线封闭，积分号  f (x, y)ds A o x y B

(2)若f(x,y)连续,则[f(x,y)存在,其结果为一常数 (3)几何意义f(x,y)=1,则」f(x,y)=L(L为弧长) (4)物理意义M=p(x,yk 5)此定义可推广到空间曲线「(x=ym∑/(5,n,AS (6)将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上 「mds 重心:x=上 转动惯量:1,=yxy),,= Jxp(x,y)ds,1=J(x2+y2)p(xy (7)若规定L的方向是由A指向B,由B指向A为负方向,但[f(x,y)k与L的方向 无关 3.对弧长曲线积分的性质 a:设L=L2+L2,则(xy)-∫(x,y+/(xy h:J[(x,y)g(x-(xy士∫8(xy) c: kf(x,yds=k f(,yds 二、对弧长曲线积分的计算 =(1) 定理设∫(x,y)在弧L上有定义且连续,L方程 y=y(1) (a≤t≤B),(1)2v(t) 在[a,月上具有一阶连续导数,且o2()+v2()≠0,则曲线积分∫f(xyk存在,且 f(x,y)x=几(,()2(o)+g2()d 说明:从定理可以看出 (1)计算时将参数式代入f(x,y),d=yp"(1)+q"(1)d,在[a,上计算定积 分 (2)注意:下限a一定要小于上限B,a0) (3)L:y=9(x,a≤x≤b时,∫(xyx-广x9(x小+() 同理L:x=0),cy≤d时,∫(xyb=几0y1+(d

（2）若 f (x, y) 连续，则 f x y ds L  ( , ) 存在，其结果为一常数. （3）几何意义 f (x, y) =1，则 f x y ds L  ( , ) =L（L 为弧长） （4）物理意义 M= x y ds L  ( , ) （5）此定义可推广到空间曲线 f x z y ds   ( , , ) = 0 1 lim ( , , ) n i i i i i f S     → =   （6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上 重心： M xds x L  =  ， M yds y L  =  ， M zds z L  =  。 转动惯量：  = L I x y (x, y)ds 2  ，  = L I y x (x, y)ds 2  ，  = + L I o (x y ) (x, y)ds 2 2  （7）若规定 L 的方向是由 A 指向 B，由 B 指向 A 为负方向，但 f x y ds L  ( , ) 与 L 的方向 无关 3．对弧长曲线积分的性质 a：设 L = L1 + L2 ，则 f x y ds L  ( , ) = f x y ds L  1 ( , ) + f x y ds L  2 ( , ) b： f x y g x y ds L  [ ( , )  ( , ]) = f x y ds L  ( , )  ( , ) L g x y ds  c： kf x y ds L  ( , ) = k f x y ds L  ( , ) 。 二、对弧长曲线积分的计算 定理 设 f (x, y) 在弧 L 上有定义且连续， L 方程    = = ( ) ( ) y t x t   （   t   ）， (t), (t) 在 [,] 上具有一阶连续导数，且 ( ) ( ) 0 2 2  t + t  ，则曲线积分 f x y ds L  ( , ) 存在，且 f x y ds L  ( , ) =   +  L f [ (t), (t)] (t) (t)dt 2 2     。 说明：从定理可以看出 （1） 计算时将参数式代入 f (x, y) ， ds (t) (t)dt 2 2 =  + ，在 [,] 上计算定积 分。 （2） 注意：下限  一定要小于上限  ， 0） （3） L ： y = (x), a  x  b 时， f x y ds L  ( , ) = f x x x dx b a 2 [ ,( )] 1+[( )]  同理 L ： x = ( y)，c  y  d 时， f x y ds L  ( , ) = f y y y dy d c 2 [( ), ] 1+[( )] 

(4)空间曲线P:x=p(t),y=v(1),=(t) ∫八(xy=1O.m(0N"(0)+v2(+(dh 例1计算曲线积分,其中L是第一象限内从点4(01)到点BL0)的单位圆弧 解(I)L:y=√1-x 0≤x≤1 dx=1 图10-1-2 (V)若是IⅣ象限从A(O1)到B(2 )的单位圆弧 (1) ∫D=jp+jp 图10-1-3 (2)若L:x= (2s1)d=,1+ Jwd=」9J1-y dv= (3)L:x=cost,y=snt--≤t≤ ds= v(sin ()+cos tdt =dt 帖m=mh-厂 2 例2计算 dsL:r=ab=0=所围成的边界 解L=OA+AB+BO在O4上y=0,0≤x≤ads=at

(4) 空间曲线 P ： x = (t) ， y = (t)， z =  (t) ， f x y ds P  ( , ) = f[ (t), (t), (t)] (t) (t) (t)dt 2 2 2          +  +   例 1 计算曲线积分 yds L  ，其中 L 是第一象限内从点 A(0,1) 到点 B(1,0) 的单位圆弧 解 (Ⅰ) L ： 2 y = 1− x 0  x 1 2 2 2 1 1 1 x dx dx x x ds − = − = + ∴ yds L  = 1 1 1 1 2 0 1 0 2 = = − −    dx x dx x 图 10-1-2 (Ⅱ) 若 L 是ⅠⅣ象限从 A(0,1) 到 ) 2 3 , 2 1 B'( − 的单位圆弧 （1） yds L  = y ds AB   + yds BB    = 2 1 0 2 1 1 x dx x − −   + 2 1 2 1 2 1 1 x dx x − −   =  1 0 dx +  1 2 1 dx = 2 3 图 10-1-3 (2) 若 L ： 2 x = 1− y ( 1 2 3 −  y  ) 2 2 2 1 1 1 y dy dy y y ds − = − = + yds L  = dy y y − − 1 2 3 2 1 = dy y y − − − 0 2 3 2 1 + dy y y  − 1 0 2 1 2 3 = (3) L ： x = cost ， y = sin t 3 2   −  t  ， ds = − t + tdt = dt 2 2 ( sin ) cos yds L  = − 2 3 sin   t dt = −  2 0 sin  tdt − 0 3  sin tdt 2 3 = 例 2 计算  + L x y e ds 2 2 L ： r = a  = 0 4   = 所围成的边界 解 L = OA + AB+ BO  在 OA 上 y = 0 ，0  x  a ds = dx o A y x B o x y A B B

ds= edx 在AB上 0≤b≤d=ab 图10-1-4 在OB上 s…"ad=Ce2xhk=c"-1 丌a 例3计算f√x+yL:x2+y2=a 0s6 L:r=acos(-x≤≤x y=rsn 6 x2+y2=r=acos, ds=acos)+(asin 0) de=ads f, Vr2+y ds=Eacos8-ade=asin 0/2=2a? 图10-1-5 或 0≤6≤2丌√x2+ √1+cs d0=2a y 例4xdL:y=xy=x2围成区域的整个边界 解L=O4+OA交点 y=x (00)(1,1) 2ax+[x√1+4x2tx 图10-1-6

  + OA x y e ds 2 2 = 1 0 = −  a a x e dx e 在  AB 上 r = a 4 0     ds = adx    + AB x y e ds 2 2 = =  4 0  e ad a a e a 4  图 10-1-4 在 OB 上 y = x ds = 2dx x y 2x 2 2 + =  + OB x y e ds 2 2 = 2 1 2 2 0 2 = −  a a x e xdx e ∴  + L x y e ds 2 2 = 2( −1) a e + a e a 4  例 3 计算  + L x y ds 2 2 L ： x + y = ax 2 2 解    = =   sin cos y r x r  L ： r = acos ) 2 2 (    −   cos 2 2 x + y = r = a ， ds = (a  ) + (− a  ) d = ads 2 2 cos sin ∴  + L x y ds 2 2 = −  2 2 cos   a  ad = 2 2 2 sin    − a = 2 2a 图 10-1-5 或        = = + sin . 2 cos , 2 2   a y a a x 0   2 + = 2 2 x y 1 cos 2 + a   d a a ds 2 2 sin ) 2 sin ) ( 2 = (− + = d a 2 ∴  + L x y ds 2 2 =    d a a 2 1 cos 2 2 0 +   =    2  0 2 2 cos 2 d a = 2 2a 例 4 L xds L ： y = x 2 y = x 围成区域的整个边界 解 L =  OA + OA 交点    = = 2 y x y x (0,0) (1,1) L xds = OA xds +   OA xds=  1 0 x 2dx +  + 1 0 2 x 1 4x dx 图 10-1-6 o x y B A o y x a o x y A

(√+4x2) 小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质, 2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业 作业卡p30-31

= 1 0 2 2 2 x + 1 0 2 3 ( 1 4 ) 3 2 8 1  + x = 2 2 + (5 5 1) 12 1 − 小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质， 2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业 作业卡 p30-31

第二节对坐标的曲线积分 教学目的:了解对坐标曲线积分的概念和性质,理解和掌握对坐标曲线积分的计 算法和应用 教学重点:对坐标曲线积分的计算 教学难点:对坐标曲线积分的计算 教学内容: 对坐标的曲线积分定义和性质 引例变力沿曲线所作的功 设一质点在xoy面内从点A沿光滑曲线弧L移到点B,受力 F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y),其中P,Q在L上连续。求上述过程所作的功 解(1)分割先将L分成n个小弧段M1M,(=1,2,…n) (2)代替用M,M1=Ax计+Ay,j近似代替M1M1Ax=x-x-1, Ay=y-y-1V(2n)∈M1M1 F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)近似代替M,M内各点的力,则F(x,y)沿M1M1所 做的功Aw;≈F(5,n)M1M (3)求和w≈∑[P(51,n)x1+Q(51,n)Ay (4)取极限令=mxMM1的长度=12,…n w=lm >IP(Si, n,)Ax,+@(5i, n, )Ay] 2.定义设L为xoy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧,函数P(x,y)O(x,y)在 L上有界在L上沿L的方向任意插入一点列M1(x1y1)(i=1,2,……,n)把L分 成n个有向小弧段 M,M,(i=1,2……,n;M=A,Mn=B) 设Ax1=x1-x1,4y2=y2-y1,点(5,)为M1M1上任意取定的点如果当个

第二节 对坐标的曲线积分 教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计 算法和应用 教学重点：对坐标曲线积分的计算 教学难点：对坐标曲线积分的计算 教学内容： 一、对坐标的曲线积分定义和性质 1．引例 变力沿曲线所作的功。 设 一 质 点 在 xoy 面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移到点 B ，受力 F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y) j ，其中 P ，Q 在 L 上连续。求上述过程所作的功 解 （1）分割 先将 L 分成 n 个小弧段  M i−1M i (i = 1,2,  ,n) (2) 代 替 用 M M x i y j i−1 i =  i +  i 近似代替  M i−1M i  i = i − i−1 x x x ，  i = i − i−1 y y y ( i ,i )  M i−1M i F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y) j 近似代替  M i−1M i 内各点的力，则 F(x, y) 沿  M i−1M i 所 做的功   ( , ) wi F  i i Mi−1Mi （3） 求和 =   +  n i i i i i i i w P x Q y 1 [ ( , ) ( , ) ] （4）取极限 令  = max{  M i−1M i 的长度 i =1,2,  ,n} = → =  +  n i i i i i i i w P x Q y 1 0 lim [ ( , ) ( , ) ]  2． 定义 设 L 为 xoy 面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，函数 P(x, y),Q(x, y) 在 L 上有界.在 L 上沿 L 的方向任意插入一点列 ( , ) i−1 i−1 i−1 M x y (i = 1,2,  ,n) 把 L 分 成 n 个有向小弧段 Mi Mi  −1 ( 1,2, , ; , ) i =  n M0 = A Mn = B 设 1 1 ,  i = i − i−  i = i − i− x x x y y y ，点 ( , )  i i 为 Mi Mi  −1 上任意取定的点.如果当个

小弧段长度的最大值A→0时,∑P(51,n)x1的极限总存在,则称此极限为函数 P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,记作P(x,y)类似地,如果 ∑Q(5,n)A的极限值总存在,则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标 y曲线积分,记作[Q(x,y)即 「P(xy=lm∑P5,n) 「(xy)b=m∑Qxy)y 说明(1)当P(xyQ(xy在L上连续时,则[P(x,y),(x,y)存在 (2)可推广到空间有向曲线r上 (3)L为有向曲线弧,L为L与方向相反的曲线,则 P(x,y)dx=- P(x, y)dx foLx,y)dy=-JO(x,y)dy (4)设L=l1+L2,则Px+hy=Pxh+2P+_h 此性质可推广到L=L1+L2…+Ln组成的曲线上 、计算 定理设P(x,y),Q(x,y)在L上有定义,且连续,L的参数方程为 =(t) y=v() 当t单调地从a变到β时,点M(x,y)从L的起点A沿L变到终点B,且p(1),(t)在以 a,B为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且q2()+v2()≠0,则 P(x,y)dx+Q(x,y)d存在,且 「Pxy)+xy)d=J(P()p()+ooy(o)t 注意(1)a:L起点对应参数,β:L终点对应参数a不一定小于B

小弧段长度的最大值  →0 时， i i n i i P x = ( , ) 1   的极限总存在，则称此极限为函数 P(x, y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分，记作 L P(x, y)dx .类似地，如果 =  n i i i i Q y 1 ( , ) 的极限值总存在，则称此极限为函数 Q(x, y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 y 曲线积分，记作 L Q(x, y)dy .即  = → =  n i i i i L P x y dx P x 1 0 ( , ) lim ( , )  ，  = → =  n i i L Q x y dy Q x y y 1 0 ( . ) lim ( , )  说明 （1）当 P(x, y) Q(x, y) 在 L 上连续时，则 L P(x, y)dx， L Q(x, y)dy 存在 （2）可推广到空间有向曲线  上 （3） L 为有向曲线弧， − L 为 L 与方向相反的曲线，则 L P(x, y)dx =  − − L P(x, y)dx， L Q(x, y)dy =  − − L Q(x, y)dy （4）设 L = L1 + L2 ，则  + L Pdx Qdy =  + 1 L Pdx Qdy +  + 2 L Pdx Qdy 此性质可推广到 L = L1 + L2 + Ln 组成的曲线上。 二、计算 定理 设 P(x, y) ，Q(x, y) 在 L 上有定义，且连续, L    = = ( ), ( ), y t x t   的参数方程为 当 t 单调地从  变到  时，点 M (x, y) 从 L 的起点 A 沿 L 变到终点 B ，且 (t),(t) 在以  ，  为 端 点 的 闭 区 间 上 具 有 一 阶 连 续 导 数 ， 且 ( ) ( ) 0 2 2  t + t  ， 则  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 存在，且  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy = {P[(t),(t)] (t) Q[(t),(t)] (t)}dt    +   注意 （1）  ： L 起点对应参数，  ： L 终点对应参数  不一定小于 

(2)若L由y=y(x)给出L起点为a,终点为B Pax+Ody=k(PIx, y(x)+O[x, y(x)ly(x)jd (3)此公式可推广到空间曲线r:x=p(t),y=(t),x=a(1) P+b+=PwmoOl()+0)oy(o +R[o(,y(1),o()o(t)d a:T起点对应参数,B:T终点对应参数 例1计算:「(2a-y)x-(a-yL:摆线x=a-sm0),y=a(1-cost)从点 O(0,0)到点B(2m,0)。 解原式-2a-a-cos)(1-cos-a-(1-cos,sman a(1+cost )a(1-cost)-a'costsin t ]dt cOS -a(l-cos1)-a costsin t dt) 2t--sin-t) (2a-y)k-(a-y)= 例2x+(x+y)L:(1)曲线y=x2(2)折线L1+L2起点为(00,终点为(1 解(1)原式xx2+(x+x)m=4 (2)原式= ydy+ xdx= 故一般来说,曲线积分当起点、终点固定时,与路径有关 图10-2-1 练习 1计算(1)[x2d+2xydt,其中L为(1)的抛物线y=x2上从O(0.0)到B(L)一段弧 (2)抛物线x=y2上从O(0,0)到B(1)的一段弧。(3)有向折线DAB,这里O,A,B依 次是点(0,0),(10),(1,1) 结论:起点,终点固定,沿不同路径的积分值相等 2计算xax+3yd-x2yr从点A(3,2,1)到点B(O,0,0)的直线段AB

（2）若 L 由 y = y(x) 给出 L起点为，终点为 Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)] y (x)}dx. L  + = +    （ 3 ） 此 公 式 可 推 广 到 空 间 曲 线  ： x = (t) ， y = (t) ， z =  (t) R t t t t dt Pdx Qdy Rdz P t t t t Q t t t t [ ( ), ( ), ( )] ( )} { [ ( ), ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( )               +  + + =  +     ：  起点对应参数，  ： 终点对应参数 例1 计算：  − − − L (2a y)dx (a y)dy L ：摆线 x = a(t − sin t) ， y = a(1− cost) 从点 O(0,0) 到点 B(2a,0)。 解 原式= [2a a(1 cost)]a(1 cost) [a a(1 cost)asin t]dt 2 0 − − − − − −   = [ a(1 cost)a(1 cost) a costsin t]dt 2 2 0 − + − −   = (1 cos ) cos sin ] ) 2 1 cos 2 ( [ 2 2 0 2 a t a t t dt t a a − − − −   = 2 2 0 2 2 sin ) 2 1 sin 2 4 1 2 1 a ( t t t a  − − = 2 (2a y)dx (a y)dy a L − − − = −  − 例 2  + + L xy dx (x y)dy 2 L ：（1）曲线 2 y = x （2）折线 L1 + L2 起点为 (0,0) ，终点为 (1,1) . 解（1）原式= x x x x dx   + + 1 0 4 2 [ ( )] = 3 4 （2） 原式=   + L1 L2 =   + 1 0 1 0 ydy xdx =1 故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关 图 10-2-1 练习 1 计算 (1) 2 . 2  + L x dy xydx ，其中 L 为（1）的抛物线 2 y = x 上从 O(0,0) 到 B(1,1) 一段弧。 （2）抛物线 2 x = y 上从 O(0,0) 到 B(1,1) 的一段弧。（3）有向折线 DAB ，这里 O, A, B 依 次是点 (0,0) ， (1,0) ，(1,1) 结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等。 2 计算 x dx zy dy x ydz 3 2 2 + 3 −   从点 A(3,2,1) 到点 B(0,0,0) 的直线段 AB o L1 y x L2

3两类曲线积分的关系 设有向曲线弧L的起点A终点B取弧长AM=s为曲线弧L的参数。AB=l则 x=x(s) 0≤s<l y=y(s) B 若x(s),y(s)在上具有一阶连续导数,P,Q在L上连续,则 Pdx+Oc dx (PEx(S),y(s+Ox(s),y(s)] 图10-2-2 (PLx(s), ys)]cosa+olx(s), y(s)]sn Bids 其中c050bsnB=是L的切线向量的方向余弦,且切线向量与L的方向一致, xL(Pcos a+@sin Byds=5( P[x(S), y(s)]cosa+@(x(s),y(s)sin B)ds Pax+Ody=L (P cos a+Osin Byds 同理对空间曲线I:∫P+Qb+R=( Pcos+Qcos+Rcsy ay为在点(xy:)处切向量的方向角,用向量表示:∫4d=」「4 A={P,Q,R},t={cosa,cosB,cos}为P上(x,y,z)处的单位切向量, dr=lds={ax,d,d}为有向曲线元 小结 1对坐标的曲线积分概念和性质 2.对坐标的曲线积分的计算3两类曲线积分的关系 作业 作业卡p32-33

3 两类曲线积分的关系 设有向曲线弧 L 的起点 A 终点 B 取弧长 AM = s  为曲线弧 L 的参数。 AB = l  则    = = ( ) ( ) y y s x x s 0  s  l 若 x(s), y(s) 在 上具有一阶连续导数， P,Q 在 L 上连续，则  + L Pdx Qdy = ds ds dy Q x s y s ds dx P x s y s l { [ ( ), ( )] [ ( ), ( )] } 0 +  图 10-2-2 = P x s y s Q x s y s ds l { [ ( ), ( )]cos [ ( ), ( )]sin } 0  +   其中 ds dx cos = ， ds dy sin  = 是 L 的切线向量的方向余弦，且切线向量与 L 的方向一致， 又 P Q ds L ( cos + sin ) = P x s y s Q x s y s ds l { [ ( ), ( )]cos [ ( ), ( )]sin } 0  +   ∴  + L Pdx Qdy = P Q ds L ( cos + sin ) 同理对空间曲线  ：  + + L Pdx Qdy Rdz = P Q R ds L ( cos + cos + cos ) , , 为  在点 (x, y,z) 处切向量的方向角，用向量表示： A d r A tds   =   A P Q R = { , , }， t ={cos ,cos ,cos }    为 P 上 ( , , ) x y z 处的单位切向量， d r tds dx dy dz = ={ , , } 为有向曲线元 小结： 1.对坐标的曲线积分概念和性质 2. 对坐标的曲线积分的计算 3.两类曲线积分的关系 作业： 作业卡 p32-33 o A y x M B L

第三节 Green公式 教学目的:理解和掌握 Green公式及应用 教学重点: Green公式 教学难点:格林公式的应用 教学内容: Green公式 1.单连通区域。设D为单连通区域,若D内 任一闭曲线所围的部分都属于D。称D为单连 通区域(不含洞),否则称为复连通区域(含洞) 规定平面D的边界曲线L的方向,当观测者沿 L行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边,如右图 图 定理1(格林公式)设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)和Q(x,y)在D 上具有一阶连续偏导数,则有 ao aP kd=中Pa+h。L为D的取正向的边界 曲线 证对既为X一型又为Y一型区域 L2:y=2(x)∵一连续, dxdy= dx aP(x,y) C(PEx, 2(x)]-P(x,,(x)dx 图10-3-2 :y=(x)又5Pa=+Jpa PIx1,,(x)kx+ P[x,,2(x)kx PLx, ,(x)]-PIx,, (x)dx -o a dxdy=fpd 对于y-型区域,同理可证「b=千h∴原式成立

第三节 Green 公式 教学目的：理解和掌握 Green 公式及应用 教学重点：Green 公式 教学难点：格林公式的应用 教学内容： 一、Green 公式 1．单连通区域。设 D 为单连通区域，若 D 内 任一闭曲线所围的部分都属于 D 。称 D 为单连 通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。 规定平面 D 的边界曲线 L 的方向，当观测者沿 L 行走时， D 内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图 图 10-3-1 定理 1（格林公式） 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P(x, y) 和 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则有 dxdy y P x Q D    −   ( ) = L Pdx Qdy +  。L 为 D 的取正向的边界 曲线。 证 对既为 X − 型又为 Y − 型区域 L2 ： ( ) 2 y = x ∵ y P   连续，    D dxdy y P = dy y P x y dx x x b a   ( )  ( ) 2 1  ( , )  = P x x P x x dx b a { [ , ( )] [ , ( )]}  1 2 − 1 1 图 10-3-2 L1： ( ) 1 y = x 又    = + L L1 L2 Pdx Pdx Pdx = P x x dx b a [ , ( )] 1 1 + P x x dx b a [ , ( )] 1 2 = P x x P x x dx b a { [ , ( )] [ , ( )]}  1 1 − 1 2 ∴   =   − D L dxdy Pdx y P 对于 Y − 型区域，同理可证    D dxdy y Q = L Qdx ∴原式成立 o y x L1 L2 a b y x l L