《线性代数》复习串讲

复习 行列式的性质 性质1:行列式与其转置行列式的值相等 12 21a 22 a2n 12 2 2 C n

行列式的性质 性质1: 行列式与其转置行列式的值相等. n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 n n n n n n a a a a a a a a a        1 2 12 22 2 11 21 1 = 复习

性质2:互换行列式的两行(列行列式变号 11 12 11 12 1 i 2 ain anl

性质2: 互换行列式的两行(列),行列式变号. n n n n j j j n i i i n n a a a a a a a a a a a a                 1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n n n i i i n j j j n n a a a a a a a a a a a a                 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 = −

推论如果行列式有两行(列)完全相同则此行列式为零 性质3:a1a2 ka, k 2 ke 12 n2 n2 列式任一行的公因子可提到行列式之外 或用常数k乘行列式任意一行的诸元素等于用k 乘这个行列式

性质3: 推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. n n n n i i i n n a a a k a k a k a a a a            1 2 1 2 11 12 1 n n n n i i i n n a a a a a a a a a k            1 2 1 2 11 12 1 = 行列式任一行的公因子可提到行列式之外. 或用常数 k 乘行列式任意一行的诸元素,等于用 k 乘这个行列式

性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例 则此行列式等于零 性质5: 12 a. 2 a t i 6. atb +b i2 11 b 注:性质3,性质5又称为线性性质 2 In

性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式等于零. 性质5: n n n n i i i i i n i n n a a a a b a b a b a a a            1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 + + + n n nn n a a a a a a            1 2 11 12 1 = n n n n n a a a a a a            1 2 11 12 1 + ai1 ai2 aini1 b bi2 in b 注:性质3,性质5又称为线性性质

性质6:在行列式中把某行各元素分别乘非零常数k, 再加到另一行的对应元素上去行列式的值不变 12 11 12 2 a in,+ ka ai2+ka2 .ain+ kain n2 nn n n2 nn

性质6: 在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数 k, 再加到另一行的对应元素上去,行列式的值不变. n n n n j j j n i i i n n a a a a a a a a a a a a                 1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n n n j i j i j n i n i i i n n a a a a k a a k a a k a a a a a a a                 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 + + + =

重要公式 0)4是价方阵4=4 ()4是n阶方阵,A可逆A= 3)4=k叫4(4是n阶方阵) 14 4 AB=AB AB≠=4+B(4,B是n阶方阵)

重要公式 ( ) T 1 A是n阶方阵, A = A ( ) A A n A A 1 2 , , 1 = 是 阶方阵 可逆 − ( )k A k A(A是n阶方阵) n 3 = ( ) A B A B (A B是n阶方阵) AB A B , 4 +  + =

(5)代数余子式的重要性质 ikin k=1 0i≠j 0 B (6 (-1)4B 0B B nxn9n×n (7)A,B是m阶方阵,则AB=1BA=|4|B 但一般AB≠BA

( )     =  = = i j A i j a A n k i k j k 0 5 : 1 代数余子式的重要性质 ( ) ( ) m m n n m n A B A B A B A B B A   = = − , 1 0 0 0 * 6 ( ) AB BA A B n AB BA A B  = = 但一般 7 , 是 阶方阵,则

行列式计算(利用性质) 方法:(1)化上(下)三角形法 (2)降阶法 (3)递归法

行列式计算(利用性质) 方法:(1)化上(下)三角形法 (2)降阶法 (3)递归法

例题 计算方法:化上(下)三角形法;降阶法 例1.计算 1-1-41 D 24-6 解:法1(化上三角形法) 十n 2 2<>F4 02-4-3 00-53

例题 例1. 计算 1 2 4 2 2 4 6 1 1 1 4 1 1 1 1 2 − − − − − D = 解:法1 (化上三角形法) 计算方法: 化上(下)三角形法; 降阶法. 0 1 5 0 0 2 4 3 0 0 5 3 1 1 1 2 − − − − 4 1 3 1 2 1 2 r r r r r r − − + D 2 4 r  r 0 0 5 3 0 2 4 3 0 1 5 0 1 1 1 2 − − − − −

5 r3-220 20-3 14 =57 00-14-3 57 00-5 14 法2(降阶法) 十n 0-53 4 000 2-4 50 50 可直接用对角线法则计算三阶行列式

3 2 r − 2r 0 0 5 3 0 0 14 3 0 1 5 0 1 1 1 2 − − − − − 4 3 14 5 r − r 14 57 0 0 0 0 0 14 3 0 1 5 1 1 1 1 2 − − − − = 57 法2(降阶法) 4 1 3 1 2 1 2 r r r r r r − − + D 0 1 5 0 0 2 4 3 0 0 5 3 1 1 1 2 − − − − 1 4 1 1 j j a j A = = 1 5 0 2 4 3 0 5 3 − − − = 可直接用对角线法则计算三阶行列式