《电路分析基础》课程教学资源（PPT课件）第十四章 线性动态电路的复频域分析

第十四章线性动态电路的复频域分析 主要内容 ①拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质; ②反变换的方法 ③KCL、KⅥL和VCR的运算形式; ④拉氏变换在线性电路中的应用 ⑤网络函数的定义与含义; ⑥极点与零点对时域响应的影响 ⑦极点与零点与频率响应的关系。 2021年2月8日星期一

2021年2月8日星期一 1 第十四章 线性动态电路的复频域分析 主要内容 ①拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质； ②反变换的方法； ③KCL、KVL和VCR的运算形式； ④拉氏变换在线性电路中的应用； ⑤网络函数的定义与含义； ⑥极点与零点对时域响应的影响； ⑦极点与零点与频率响应的关系

基本要求 ①了解拉普拉斯变换的定义,会用拉普拉斯 变换的基本性质求象函数 ②掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运 算导纳、运算电路。 ③掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方 法和步骤。 ④理解网络函数的的定义和极点、零点的概念; ⑤掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系; ⑥掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系; 2021年2月8日星期一

2021年2月8日星期一 2 基本要求 ①了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯 变换的基本性质求象函数。 ②掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法、 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运 算导纳、运算电路。 ③掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方 法和步骤。 ④理解网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系；

①拉普拉斯反变换部分分式展开 ②基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、 运算电路 ③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 ④网络函数的的定义和极点、零点的概念; ⑤网络函数的零点、极点与冲激响应的关系; ⑥网络函数的零点、极点与频率响应的关系 2021年2月8日星期一

2021年2月8日星期一 3 重点 ①拉普拉斯反变换部分分式展开； ②基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、 运算电路； ③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 ④网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥网络函数的零点、极点与频率响应的关系

难点 ①拉普拉斯反变换的部分分式展开法; ②电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 ③零点、极点与冲激响应的关系 ④零点、极点与频率响应的关系 与其它章节的联系 8拉氏变换:解决电路的动态分析问题。即解决第七章 的问题,称之为运算法,是后续各章的基础,前几章 基于变换思想的延续。 网络函数部分以拉氏变换为基础,是叠加定理的一种 表现。冲激响应参见第7章、频率响应参见第11章。 2021年2月8日星期一

2021年2月8日星期一 4 难点 ①拉普拉斯反变换的部分分式展开法； ②电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 ③零点、极点与冲激响应的关系 ④零点、极点与频率响应的关系 与其它章节的联系  拉氏变换：解决电路的动态分析问题。即解决第七章 的问题，称之为运算法，是后续各章的基础，前几章 基于变换思想的延续。  网络函数部分以拉氏变换为基础，是叠加定理的一种 表现。冲激响应参见第 7 章、频率响应参见第 11章

§14-1拉普拉斯变换的定义 1.引 ◆拉普拉斯变换法是一种数学积分变换,其核心 是把时间函数()与复变函数F(s)联系起来, 把时域问题通过数学变换化为复频域问题。 鲁两个特点:一是把时间域的高阶微分方程变换 为复频域的代数方程;二是将电流和电压的初 始值自动引入代数方程中,在变换处理过程中, 初始条件成为变换的一部分。 由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程 较有规律且有效,所以拉普拉斯变换在线性电 路分析中得到广泛应用。 2021年2月8日星期一

2021年2月8日星期一 5 §14-1 拉普拉斯变换的定义 1. 引言 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心 是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来， 把时域问题通过数学变换化为复频域问题。 两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换 为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初 始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中， 初始条件成为变换的一部分。 由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程 较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电 路分析中得到广泛应用

1定义 个定义在[0,+叫]区间的函数f(),它的拉普拉斯 变换式F(s)定义为: F(S=L WoA f(oedt 式中 为复数,被称为复频率 F(s)称为0的象函数,称为的原函数。 ⑦由F(s)到f的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为 C+ f0=C7)÷1F(s)edt 2T c-3 式中c为正的有限常数。 2021年2月8日星期一

2021年2月8日星期一 6 1. 定义 一个定义在 [0, +∞] 区间的函数 f(t)，它的拉普拉斯 变换式 F(s) 定义为： F(s)=ℒ [f(t)]= 0- ∞ f(t)e-stdt 式中s=s+jw为复数，被称为复频率； F(s)称为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为： f(t)= ℒ -1 [F(s)]= 2pj 1 c-j c+j F(s) est dt 式中c为正的有限常数

6注意 (1)定义中拉氏变换的积分从t0开始,即: F(s=L Uo] ft)e-stdt t)e-stdtt ft)e-stdt 它计及≠=0至04,f1)包含的冲激和电路动态变量 的初始值,从而为电路的计算带来方便 2)象函数F()一般用大写字母表示,如(s)、U(s), 原函数0)用小写字母表示,如(),u(1) 象函数F()存在的条件:Re[s]=S>c 在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电 流)信号,它们的函数表达式都存在拉氏变换 所以应用时不再计较F(s)的存在条件 2021年2月8日星期一

2021年2月8日星期一 7 象函数F(s) 存在的条件： Re[s]=s > c。 (1)定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即：  注意 在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电 流)信号，它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。 所以应用时不再计较F(s)的存在条件。 F(s)=ℒ [f(t)]= 0- ∞ f(t)e-stdt = 0- 0+ f(t)e-stdt + 0+ ∞ f(t)e-stdt 它计及 t=0-至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量 的初始值，从而为电路的计算带来方便。 (2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示，如I(s)、U(s)， 原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t)，u(t)

2。典型函数的拉氏变换P345例 14-1 1)单位阶跃函数f(t)=( F(s)F E(es dtt est dt (2)单位冲激函数8( F(S)+ o(e-stdt o(best dt=e-s(0) 0 (3)指数函数()=e(x为实数) F(st e(s-a)dt e (s-x) 2021年2月8日星期一

2021年2月8日星期一 8 2. 典型函数的拉氏变换 P345例 14-1 (1)单位阶跃函数 f(t) = e(t) F(s) = 0- ∞ e(t) e -st dt ℒ [e(t)]= s 1 = 0- ∞ e -st dt = - s 1 e -st 0- ∞ (2)单位冲激函数d(t) F(s) = 0- ∞ d(t) e -st dt = 0- 0+ d(t) e -st dt = e -s(0) ℒ [d(t)]=1 (3)指数函数 f(t) = e at (a为实数) F(s) = 0- ∞ e at e -st dt = 0- ∞ e -(s-a)t dt = -(s-a) 1 e - (s-a)t 0- ∞ ℒ [e at ]= s-a 1

§14-2拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质 设:C[f()=F1(s),C[(O)=F2(s) A1、A2是两个任意实常数。 证:左卡[A1f(0)+A2(Oedr f(0)emd+A2f0)ed=右 A FI(S) A2F(S) 2021年2月8日星期一

2021年2月8日星期一 9 §14-2 拉普拉斯变换的基本性质 1. 线性性质 设：ℒ [ f1 (t)]=F1 (s)，ℒ [ f2 (t)]=F2 (s) A1、A2 是两个任意实常数。 则：ℒ [A1 f1 (t)+A2 f2 (t)] = A1F1 (s)+A2F2 (s) 证： 左 = 0- [A1 f1 (t) + A2 f2 (t)] e-st dt = A1 0- ∞ f1 (t) e -st dt + A2 0- ∞ f2 (t) e -st dt = 右 A1F1 (s) A2F2 (s)

P346例142若f1(4sin(o,(=K1 e的定义域为[o,],求其象函数。 L[t]=L[sin(ot) Lo(eJ@ - Jot 欧拉公式L2j 线性性质1 n;C[en]-Clem]用ea 2jls-jo s+jo 线性性质 C[f2(0)]=C[K(1-e) LKILKe-at 引用阶跃函数和指数函数的结论 KK Ka sS+a S(s+a) 2021年2月8日星期一 10

2021年2月8日星期一 10 P346 例14-2 若 f1(t)=sin(wt)， f2(t)=K(1- e-at )的定义域为[0， ]，求其象函数。 ℒ [ f1 (t)] = ℒ [sin(wt)] 2j 1 (ejwt-e -jwt ) 欧拉公式 ℒ 线性性质 2j 1 ℒ [e jwt ] -ℒ [e -jwt ] 引用 ℒ [e at ] = s-a 1 = 2j 1 s-jw 1 - s+jw 1 = s 2+w2 w ℒ [ f2 (t)] = ℒ [K(1-e -at )] 引用阶跃函数和指数函数的结论 = s K - s+a K = s(s+a) Ka ℒ [K(1-e -at )]= 线性性质ℒ [K]-ℒ [Ke -at ] 解： s(s+a) Ka ℒ [sin(wt)] = s 2+w2 w