空军航空大学：《计算方法与实习》讲课稿（赵秀影）

空军航空大学飞行基础训练基地数学教研室 计算方法 主讲教师:赵秀影

空军航空大学飞行基础训练基地数学教研室 计 算 方 法 主讲教师：赵秀影

计算方法与实习

计算方法与实习

绪论

绪论

计算方法的对象和特点 计算方法是研究数学问题的数值解及其理 论的一个数学分支。 研究各种方法的收敛性、稳定性、误差分析。 研究计算时间最短、需要计算机内存最少的方法

计算方法的对象和特点 计算方法是研究数学问题的数值解及其理 论的一个数学分支。 研究各种方法的收敛性、稳定性、误差分析。 研究计算时间最短、需要计算机内存最少的方法

误差的来源及误差的基本概念 误差的来源 模型误差 建立模型时对描述的实际问题进行抽象和简化 导致的误差。 测量误差 通过测量得到的物理量存在误差。 截断误差 在计算时必须通过无限过程得到的结果若仅 仅取有限次运算产生的误差。 舍入误差 计算时位数太多,进行四舍五入产生的误差

误差的来源及误差的基本概念 误差的来源 模型误差 建立模型时对描述的实际问题进行抽象和简化 导致的误差。 测量误差 通过测量得到的物理量存在误差。 截断误差 在计算时必须通过无限过程得到的结果若仅 仅取有限次运算产生的误差。 舍入误差 计算时位数太多，进行四舍五入产生的误差

结论:误差是不可避免的 在实际问题中求精确解是没有意义的,求近似解是正 常的。 问题是如何尽量减少误差,提高精度 在四种误差中,前2种是客观存在的,后2种是计算方 法引起的。本课程是研究数学问题的数值解法,因此 只涉及后2种误差

结论：误差是不可避免的 在实际问题中求精确解是没有意义的，求近似解是正 常的。 问题是如何尽量减少误差，提高精度 在四种误差中，前2种是客观存在的，后2种是计算方 法引起的。本课程是研究数学问题的数值解法，因此 只涉及后2种误差

绝对误差与绝对误差限 定义:设x*为精确值,x是ⅹ*的近似值,称e=x*-x为近似 值x的绝对误差,简称误差 绝对误差e可正可负,事实上由于精确值x无法知道,因 此也无法得到e的实际数值,只能知道误差的某个范围, 由此定义出绝对误差限ε。 定义:=-≤6为绝对误差限简称误差限 也可写为x=x±E

绝对误差与绝对误差限 定义：设x*为精确值，x是x*的近似值，称e=x*-x为近似 值x的绝对误差，简称误差。 绝对误差e可正可负，事实上由于精确值x无法知道，因 此也无法得到e的实际数值，只能知道误差的某个范围， 由此定义出绝对误差限。   =  = −  x x e x x * * : , , 也可写为 定义 为绝对误差限 简称误差限

相对误差与相对误差限 误差限的大小不能完全表示出近似值 的好坏,为了较好的反映出进似值的 精确程度,必须考虑误差与真值的比 值,即相对误差。 定义:设x为精确值,x是x的近似值, 称为近似值x的相对误差记作e 同样有相对误差限e|=

相对误差与相对误差限 误差限的大小不能完全表示出近似值 的好坏，为了较好的反映出进似值的 精确程度，必须考虑误差与真值的比 值，即相对误差。 r r r x x x e x e x x x x x x   − = − * * * * , , : , , 同样有相对误差限 称 为近似值 的相对误差 记作 定义 设 为精确值 是 的近似值

有效数字 使用绝对误差表示一个数x±E,虽然表示了 精确程度,但是不适合于数值计算,希望用 数据本身表示精确程度 定义:如果近似值x的误差限是其某一位上的半个单 位,且该位直到x的第一位非零数字一共有n位,则 称近似值x有n位有效数字 例如:取近似值x1=173,则有3位有效数字,取 x2=17321,则有5位有效数字,取x32=1.7320,有4 位有效数字,因为它的误差已经超过0.5x104

有效数字 . , , , 数据本身表示精确程度 精确程度 但是不适合于数值计算 希望用 使用绝对误差表示一个数x  虽然表示了 定义：如果近似值x的误差限是其某一位上的半个单 位，且该位直到x的第一位非零数字一共有n位，则 称近似值x有n位有效数字。 例如： 取近似值x1=1.73，则有3位有效数字，取 x2=1.7321，则有5位有效数字，取x3=1.7320，有4 位有效数字，因为它的误差已经超过0.5x10-4

数据误差的影响 数值运算中由于数据的误差必然导致函数值的误 差,这种影响的分析比较复杂,一般采用泰勒级 数展开的方法来估计 例如计算y=f(x,x2)设x12x2为近似值, 其精确值为x,x2y的精确值为y, 因此误差函数为 e(y)=y-y=f(x1x2)-f(x12x2) (x1-x1)+ (x1,x2) af(,,x2) f( Ox

数据误差的影响 数值运算中由于数据的误差必然导致函数值的误 差，这种影响的分析比较复杂，一般采用泰勒级 数展开的方法来估计。 2 2 1 2 1 1 1 2 2 * 2 2 1 2 1 * 1 1 1 2 1 2 * 2 * 1, * * * 2 * 1 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) , , , ( , ), , , e x f x x e x f x x x x x f x x x x x f x x e y y y f x x f x x x x y y y f x x x x   +   = −   − +    = − = − = 因此误差函数为 其精确值为 的精确值为 例如计算 设 为近似值