安徽医科大学：《医药高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）无穷级数（幂函数）

5.4冥级数 5.4.1函数项级数的一般概念 5.4.2冥级数及其收敛性 涵 5.4.3冥级数的运算 -秋私 ∫fx)dx

5.4 冥级数 5.4.1 函数项级数的一般概念 5.4.2 冥级数及其收敛性 5.4.3 冥级数的运算 f x d x ( ) 

5.4.1函数项级数的一般概念 定义5-6设{4，(x)}是定义在数集上的函数列 则表达式 4(x)+42(x)+…+un(x)+…=∑4n(x) n=l 称为定义在上的函数项无穷级数。而 潮 S,()=u(x)+u2(x)+.+u,(x) 称为函数项级数(5-4)的部分和

5.4.1 函数项级数的一般概念 定义5-6 是定义在数集上的函数列， 则表达式 称为定义在上的函数项无穷级数。而 设 { ( )} n u x 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x  = + + + + =  1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n s x u x u x u x = + + + 称为函数项级数(5-4)的部分和

对x,∈I,如果常数项级数∑4(x)收敛 n=] 即m,(x)存在，则称函数项级数∑u,(x)在点七收敛 n=l x,称为该函数项级数的收敛点。 如果1im5,(xo)不存 在，则称函数项级数∑，(x)在点X,发散。 函数项 n=1 级数全体收敛点的集合称为该函数项级数的收敛域 而全体发散点的集合称为发散域： 醒

0 1 ( ) n n u x  =  收敛， 即 收敛， 0 x 不存 在，则称函数项级数 对 0 x I  ，如果常数项级数 0 lim ( ) n n s x → 存在，则称函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在点 0 x 称为该函数项级数的收敛点。如果 0 lim ( ) n n s x → 1 ( ) n n u x  =  在点 0 x 发散。函数项 级数全体收敛点的集合称为该函数项级数的收敛域， 而全体发散点的集合称为发散域

设函数项级数∑4，(x,)的收敛域为D,则对D n=l 内的每一点x,ms,()存在，记ims,()=s(),它是 n->co x的函数，称为函数项级数∑4(x)的和函数。称 n=l ,(x)=S(x)-Sn(x)=4n+1(x)+un+2(x)+… 为函数项级数∑4，(x)的余项。对于收敛域上的每一 n= 点x,有1imrn(x)=0 n>o∞

设函数项级数 1 ( ) n n u x  =  内的每一点 ，它是 x 的函数，称为函数项级数 的和函数。称 为函数项级数 的余项。对于收敛域上的每一 点 x ，有 的收敛域为 D ，则对 D x ， lim ( ) n n s x → 存在，记 lim ( ) ( ) n n s x s x → = 1 ( ) n n u x  =  1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n r x s x s x u x u x = − = + + + + 1 ( ) n n u x  =  lim ( ) 0 n n r x → =

由定义5-6可知，函数项级数在某点X的敛 散问题，实质上是常数项级数的敛散问题，因 此，常数项级数的敛散性判别法对函数项级数也 适用。 例5-18几何级数 ∑x”=1+x+x2+…+x”+… n=0 是一个函数项级数，由例5-4的讨论知， 凝

由定义5-6可知，函数项级数在某点 的敛 散问题，实质上是常数项级数的敛散问题，因 此，常数项级数的敛散性判别法对函数项级数也 适用。 例5-18 几何级数 x 2 0 1 n n n x x x x  =  = + + + + + 是一个函数项级数，由例5-4的讨论知

当x<1时，级数收敛；当x≥1时，级数发 散。因此，这个级数的收敛域是区间（一1,1)， 发散域是(-o,-1U[1,+o)。在收敛域（-1,1) 内，有 1+x+x2+…+x”+…= 1一X 即级数 ∑x” 的和函数为 n=0 1-x 超

当 时，级数收敛；当 时，级数发 散。因此，这个级数的收敛域是区间 ， 发散域是 。在收敛域 内，有 即级数 的和函数为 。 | | 1 x  | | 1 x  ( 1,1) − ( , 1] [1, ) − − + ( 1,1) − 2 1 1 1 n x x x x + + + + + = − 0 n n x  =  1 1− x

般函数项级数的收敛域及发散域的结构可能很 复杂，但对于其中最简单最重要的一类函数项级 数，即幂级数来说，它的收敛域的结构很简单， 是一个区间。如例5-18中几何级数就是一个幂级 数，其收敛域（一1,1）是一个区间。 以下主要讨论幂级数

一般函数项级数的收敛域及发散域的结构可能很 复杂，但对于其中最简单最重要的一类函数项级 数，即幂级数来说，它的收敛域的结构很简单， 是一个区间。如例5-18中几何级数就是一个幂级 数，其收敛域 是一个区间。 以下主要讨论幂级数。 ( 1,1) −

5.4.2冥数级及其收敛性 形式为 ∑anx”=a,+ax+a2x2+…+anx”+… n=0 其中常数0，a1,2,,0n称为幂级数的系数。 涵 例如 00 x”=1+x+x2+x2.…+x”+ n=0 n=0 n 213…+ n 都是幂级数

5.4.2 冥数级及其收敛性 形式为 其中常数 称为幂级数的系数。 例如 2 0 1 2 0 n n n n n a x a a x a x a x  =  = + + + + + 0 1 2 , , , , n a a a a2 3 0 1 n n n x x x x x  =  = + + + + + 2 3 0 1 ! 2! 3! ! n n n x x x x x n n  =  = + + + + + 都是幂级数

注：对于形如 ∑a,(x-x)”的幂级数，可通过 -0 作变量代换t=x一x,转化为 ∑a 的形式，所以，以后主要针对形如(5-5)的级数 展开讨论。 显然，当x=0时，幂级数∑ax收敛 n=0 于a,,这说明幂级数的收敛域总是非空的。 翻

注：对于形如 的幂级数，可通过 作变量代换 转化为 的形式，所以，以后主要针对形如（5-5）的级数 展开讨论。 显然，当 时，幂级数 收敛 于 ，这说明幂级数的收敛域总是非空的。 0 0 ( )n n n a x x  =  − 0 t x x = − 0 n n n a t  =  x = 0 0 n n n a x  =  0 a

般地，对于一个给定的幂级数，首先考虑的是 它的收敛问题，也就是说：x取得数轴上哪些点时 级数(5-5)收敛，取得哪些点时级数(5-5)发散？这 个问题的解决依赖于下面的阿贝尔定理

一般地，对于一个给定的幂级数，首先考虑的是 它的收敛问题，也就是说：x取得数轴上哪些点时 级数(5-5)收敛，取得哪些点时级数(5-5)发散？这 个问题的解决依赖于下面的阿贝尔定理