安徽医科大学：《医药高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）无穷级数（常数项级数的概念与性质）

5.1常数项级数的概念和性质 5.1.1常数项级数的概念 5.1.2级数的基本性质 -秋私 极起

5.1.1 常数项级数的概念 5.1.2 级数的基本性质 5.1 常数项级数的概念和性质

5.1.1常数项级数的概念 引例：用圆内接正多边形面积逼近圆面积A.先 做圆的内接正六边形，设它的面积为41，将它看 做圆面积的一个近视值，为了比较准确的计算出 A的值，再以这个正六边形的每一边为底分别做一 个顶点在圆周上的等腰三角形，设这六个等腰三角 形的面积之和为a2,显然用a1+2,（即圆的 内接正十二边形的面积)作为圆面积A的一个 近似值，比用正六边形面积要好的多，见图5-1

5.1.1 常数项级数的概念 引例：用圆内接正多边形面积逼近圆面积A.先 做圆的内接正六边形，设它的面积为 1 a ，将它看 做圆面积的一个近视值，为了比较准确的计算出 A的值，再以这个正六边形的每一边为底分别做一 个顶点在圆周上的等腰三角形,设这六个等腰三角 形的面积之和为a2 ，显然用a1 +a2 ，（即圆的 内接正十二边形的面积）作为圆面积A的一个 近似值，比用正六边形面积要好的多，见图5-1

A 4≈A a+a%2≈ 41 图5-1

1 a A  1 2 1 a a A a +  图5-1

同样地，在这个正十二边形的每一边上分别做一个顶 点在圆周上的等腰三角形，并设这十二个等腰三角形的 面积之和为a,1,则a+a4,+a,（即内接正二十四边 形的面积)是圆面积A的一个更好的近似值。如此继 续下去，形成一个无穷数列41,2，…，am… 显然，这 无穷多项和41十a2+…+an+…,逐步逼近圆面积A. 在实际中，有很多问题的分析都归结为这种无穷多项 和的形式，从而抽象出无穷级数的概念

同样地 ，在这个正十二边形的每一边上分别做一个顶 点在圆周上的等腰三角形,并设这十二个等腰三角形的 面积之和为 3 a ，则 a1 + a2 + a3 （即内接正二十四边 形的面积）是圆面积 A 的一个更好的近似值。如此继 续下去，形成一个无穷数列 a1 ,a2 ,  ,an ，， 显然，这 + ++ + ，逐步逼近圆面积A. 无穷多项和 a1 a2 an 在实际中，有很多问题的分析都归结为这种无穷多项 和的形式，从而抽象出无穷级数的概念

定义5-1一般地，设41,42,3，…，4n…是 个 给定的数列，按照数列下标的大小依次相加，得 W1+儿2+W3++Wm+… 这个表达式称为无穷级数，其中1,2,43…，4n 都是常数，又称为常数项级数，简称为级数 调 00 记为 n=1

定义5-1 一般地，设   u u u un , , , , 1 2 3 是一个 给定的数列，按照数列下标的大小依次相加，得 + + +  + +  u1 u2 u3 un   u u u un , , , , 这个表达式称为无穷级数 ，其中 1 2 3 都是常数，又称为常数项级数 ，简称为级数， 记为   n=1 un

00 即 ∑4，=41+山2+%+…+儿n+… (5-1) 式中的每一个数称为常数项级数的项，其中 u, 溺 称为级数(5-1)的一般项或通项。 一

 = + + +  + +   = u u u un n n u 1 2 3 1 即 式中的每一个数称为常数项级数的项 ，其中 称为级数（5-1）的一般项 或通项。 un （5-1）

对于级数人们自然的想到：随着无限增大，级数 的变化趋势是什么？从而，提出了级数的收敛与发 散（简称敛散性）问题。由于任意有限个数的和是 可以完全确定的，因此，我们可以通过考察无穷级 数的前n项和随着n的变化趋势来考察级数的敛 散性。 蘭

对于级数人们自然的想到：随着 n n 无限增大，级数 的变化趋势是什么？从而，提出了级数的收敛与发 散（简称敛散性）问题。由于任意有限个数的和是 可以完全确定的，因此，我们可以通过考察无穷级 数的前 项和随着 的变化趋势来考察级数的敛 散性。 n

级数∑u.的前n项和 Sn=41+儿2+%3+…+儿n 称为级数立“.的前n项部分和。当n依次取 1,2,32·-· 时，它们构成一个新的数列{n} 吉花 S1=41,S2=%1+u2y…3Sn=W1+儿2++儿n,… 称为部分和数列。根据数列{S是否存在极限，我 们引进数(5-1)的收敛与发散的概念

级数  的前  n=1 un n 项和 n u u u un s = 1 + 2 + 3 +  +   n=1 称为级数 un 的前 n 项部分和。当 n 依次取 1,2,3， 时，它们构成一个新的数列 sn  sn  = , = + ,  , = + +  + ,  1 1 2 1 2 n u1 u2 un s u s u u s 称为部分和数列。根据数列 是否存在极限，我 们引进数(5-1)的收敛与发散的概念

与养 定义5-2如果级数∑un的部分和数列{sn}有极限 S,即 lim s= n>o∞ 则称级数∑4.收敛。S称为级数之4 的和，并写成 n= 福 s=4+4,++n+=∑4 n=1 如果{Sn}没有极限，则称级数∑w.发散。 n=

定义5-2 如果级数 的部分和数列 S，即  s  n=1 un 有极限 则称级数   n=1 收敛。 un 的和，并写成   n=1 un { }n s s s n n = → lim 称为级数   = = + +  + +  = 1 1 2 n u u un un s   n=1 如果 {sn } 没有极限，则称级数 un 发散

如果级数∑w.收敛于S,则部分和Sn≈S,它 们之间的差 Tn=S-Sn=Wn+1+儿n+2+…+Mn+k+… 称为级数的余顶。显然有imrn=0,而1是用S, 近似代替S所产生的误差 超

= − = + +  + +  n n un+ un+ un+k r s s 1 2   n=1 如果级数 un 收敛于 s ，则部分和 sn  s ，它 们之间的差 称为级数的余项。显然有 ，而 是用 n s 近似代替 lim = 0 → n n r | | n r s 所产生的误差