延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（习题与答案）习题八

习题八 1.设x1,x2…,x6是来自服从参数为x的泊松分布P(x)的样本,试写出样本的 联合分布律。 解f(x1 2.设x1x2…,X6是来自(0)上的均匀分布的样本,O>0未知 (1)写出样本的联合密度函数; (2)指出下列样本函数中哪些是统计量,哪些不是?为什么? T=x1+x2+“+x点,2=X6-0.71=X6一E(x)72=m(x,x2…,x) (3)设样本的一组观察是:0.5,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解 (1)f(x1x2…,x) 0<x1,x2,…,x6<6 0 其他 (2)T和r是,T2和r不是。因为7和r中不含总体中的唯一未知参数,而r2和 7;中含有未知参数e (3)样本均值x=x,=∑x,=05+1+07+06+1+1)=08 样本方差s=1(x1-x)=∑x =2(-03+0)+(02+(02)+(02)+02)=003 样本标准差S=√s2=√0043=02082。 3.查表求x(12),x20(12),lo(12),to(12)。 解x20(12)=26217,x20(12)=3571,lo9(12)=26810,l012)=-2.6810

习题八 1. 设 1 2 6 X , X ,  , X 是来自服从参数为  的泊松分布 P() 的样本，试写出样本的 联合分布律。 解 ( ) ! ! ! , , , 1 2 6 1 2 6 1 2 6 x e x e x f x x x e x x x −  −  −   =   1 6 6 1 ! n i i x i i e x   = − =  =  x1 , x2 ,  , x6 = 0,1,2,  2. 设 1 2 6 X , X ,  , X 是来自 (0, ) 上的均匀分布的样本，   0 未知 （1）写出样本的联合密度函数； （2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ ( ) ( ) 2 6 3 6 1 4 1 2 6 1 2 6 1 , , , max , , , 6 T X T X E X T X X X X X X T   = − = − = + + + =  （3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解 （1） f (x1 , x2 ,  , x6 ) = −6  0  x1 , x2 ,  , x6  0 其他 （2） T1 和 T4 是， T2 和 T3 不是。因为 T1 和 T4 中不含总体中的唯一未知参数  ，而 T2 和 T3 中含有未知参数  。 （3）样本均值 (0.5 1 0.7 0.6 1 1) 0.8 6 1 6 1 1 6 1 1 =  =  = + + + + + = = i= i n i Xi X n X 样本方差 ( ) ( ) 2 6 1 2 1 2 6 1 1   = = = − = − i i n i Xi X X X n S (( 0.3) (0.2) ( 0.1) ( 0.2) (0.2) (0.2) ) 0.0433 6 1 2 2 2 2 2 2 = − + + − + − + + = 样本标准差 0.0433 0.2082 2 S = S = = 。 3. 查表求 (12) 2  0.99 ， (12) 2  0.01 ， (12) 0.99 t ， (12) 0.01 t 。 解 2 0.99  (12) 26.217 = ， 2 0.01  (12) 3.571 = ， 0.99 t (12) 2.6810 = ， 0.01 t (12) 2.6810 = −

4.设r~(0),求常数c,使P(T>c)=095 解由t分布关于纵轴对称,所以P(T>c)=095即为P>-c)=005 由附表56可查得-c=1.81,所以c=-1.81。 5.设x1x2…,x1是来自正态总体N0a2)的样本,试证 (2) X x 证明 (1)独立同分布于N0,由x2分布的定义,)-x(),即1x-z(o (2)易见,∑ X-N(o, no2),即~N),由z2分布的定义, n0 x)0 6.设x1,x2…,X3是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个x(=12…5)都服 从N(0) (1)试给出常数e,使得x2+x2)服从x2分布,并指出它的自由度 (2)试给出常数d,使得a3+3服从t分布,并指出它的自由度 解 (1)易见,x2+x2即为二个独立的服从No)的随机变量平方和,服从x2(2)分布, 即c=1;自由度为2 (2)由于x1+x2-N02,则x+2~N0)。 又x+x2+Xx3-x2(),与x+x+X相互独立,则 (x1+x22 √(x3+x2+x3/3

4. 设 T ~ t(10) ，求常数 c ，使 P(T  c) = 0.95。 解 由 t 分布关于纵轴对称，所以 P(T  c) = 0.95 即为 P(T  −c) = 0.05。 由附表 5.6 可查得− c =1.81 ，所以 c = −1.81。 5. 设 X X Xn , , , 1 2  是来自正态总体 ( ) 2  0, 的样本，试证： （1） X (n) n i i 2 1 2 2 ~ 1    = ； （2） ~ (1) 1 2 2 1 2          = n i Xi n 。 证明： （1）  Xi 独立同分布于 (0,1) ，由 2  分布的定义， (n) n X i i 2 2 1 ~    =       ，即 X (n) n i i 2 1 2 2 ~ 1    = 。 （2）易见， ( ) 2 1 X ~ 0,n n i  i  = ，即 ~ (0,1) 2 1   = n X n i i ，由 2  分布的定义， ~ (1) 2 2 2 1                = n X n i i ， 即 ~ (1) 1 2 2 1 2          = n i Xi n 。 6. 设 1 2 5 X , X ,  , X 是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个 X (i =1,2,  ,5) i 都服 从 (0,1)。 （1）试给出常数 c ，使得 ( ) 2 2 2 c X1 + X 服从 2  分布，并指出它的自由度； （2）试给出常数 d ，使得 2 5 2 4 2 3 1 2 X X X X X d + + + 服从 t 分布，并指出它的自由度。 解 （1）易见， 2 2 2 X1 + X 即为二个独立的服从 (0,1) 的随机变量平方和，服从 (2) 2  分布， 即 c =1 ；自由度为 2。 （2）由于 ~ (0,2) X1 + X2  ，则 ~ (0,1) 2 1 2  X + X 。 又 ~ (3) 2 2 5 2 4 2 X3 + X + X  ， 2 X1 + X2 与 2 5 2 4 2 X3 + X + X 相互独立，则 ( ) ( ) ~ (3) 3 2 2 5 2 4 2 3 1 2 t X X X X X + + +

X4+X 即 自由度为3 7.设(x1,x2…,xn)是取自总体x的一个样本,在下列三种情况下,分别求 E(x)D(x)B):(1)x~B(p);(2)x~E(x);(3)x~R(020),其中>0。 解 (1)x~B(,p) E(X)=P,E(x2)=P,D(x)=p(1-p) E(x)=E|∑x ELX X (()(x ()(()-y()(g (2)X~E() E()2x)=2 () D() (3)x~R(020),其中6>0

即 ~ (3) 2 6 2 5 2 4 2 3 1 2 t X X X X X + + + 即 2 6 d = ，自由度为 3。 7. 设 ( ) X X Xn , , , 1 2  是取自总体 X 的一个样本，在下列三种情况下，分别求 ( ) ( ) ( ) 2 E X ,D X ,E S ：（1） X ~ B(1, p) ；（2） X ~ E() ；（3） X ~ R(0,2 ) ，其中   0。 解 （1） X ~ B(1, p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 , , 1 1 1 n n i i i i E X p E X p D X p p E X E X E X p n n = = = = = −   = = =       ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 n n i i i i p p D X D X D X n n n = =   − = = =       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( )) ) ( ( ) ( ( )) ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n i i i i i i n i i i E S E X X n E X nX E X nE X n n n D X E X n D X E X n p p np n p n n p p n = = = =       = − = − = −               = + − +         − = − +             = − −         （2） X ~ E() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( )) ) ( ( ) ( ( )) ) 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1            = −       = + − + = = = =  = n D X E X n D X E X n E S n D X E X E X D X n i i i （3） X ~ R(0,2 ) ，其中   0

E(x)= 8.某市有1000个年满18岁的居民,他们中10%年收入超过1万,20 受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本,求: (1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率 (2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率 解 (1)引入新变量: x1,第;个样本居民年收入超过1万 0,第个样本居民年收入没超过1万 其中=12,,n,n=1600 易见:p=P(x,=1)=01 又因n=1600<N=10000故可以近似看成有放回抽样,x1x2…Xn相互独立 H=E(x)=0.1=D(X)=01×0.9=0.3 样本中年收入超过1万的比例即为ξ,由于n=1600较大,可以使用渐近分布求解, 即X~N.|,所求概率即为 P(219=1-P(x≤01) n(x--40011-0.1) 0.3 =1-3=1-0982=0018 (2)同(1)解法 引入新变量: ,第i个样本居民受过高等教育 0,第i个样本居民未受过高等教育

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( )) ) ( ( ) ( ( )) ) n 3 1 1- 1 3 3 2 1 2 2 2 2 2            =      = + − + = = = =  = n i D Xi E Xi n D X E X n E S n D X E X D X E X 8. 某市有 100000 个年满 18 岁的居民，他们中 10%年收入超过 1 万，20% 受过高等教育。今从中抽取 1600 人的随机样本，求： （1）样本中不少于 11%的人年收入超过 1 万的概率； （2）样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率。 解 （1）引入新变量： Xi = 1，第 i 个样本居民年收入超过 1 万 0，第 i 个样本居民年收入没超过 1 万 其中 i =1,2,  ,n,n =1600 易见： p = P(Xi =1) = 0.1 又因 n =1600  N =100000 ，故可以近似看成有放回抽样， X X Xn , , 1 2  相互独立。  = E(Xi ) = 0.1, = D(Xi ) = 0.1 0.9 = 0.3 样本中年收入超过 1 万的比例即为 X ，由于 n =1600 较大，可以使用渐近分布求解， 即          n X 2 ~ ,   ，所求概率即为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0.9082 0.0918 3 4 1 0.3 40 0.11 0.1 11% 1 0.11 1  = − =      = −          −  −  = −  = −  n X  P X P X P （2）同（1）解法 引入新变量： Xi = 1，第 i 个样本居民受过高等教育 0，第 i 个样本居民未受过高等教育

其中;=1.2…,n,n=1600 P=P(X1=1)=02 u=0.2,a=√02×0.8=04 r9%sF219)=409025(-2021-02) )-dp(-1)=2d()-1=2×08413-1=06826 答:(1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为00918; (2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为06826

其中 i =1,2,  ,n,n =1600 ( ) 0.2, 0.2 0.8 0.4 1 0.2 = =  = = = =   p P Xi ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( 1) 2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826 0.4 40 0.21 0.2 0.4 40 0.19 0.2 19% 21% =  −  − =  − =  − =         −  −  −   =  n X  P X P 答：（1）样本中不少于 11%的人年收入超过 1 万的概率为 0.0918； （2）样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率为 0.6826