华东交通大学：《数学模型》课程教学资源（PPT讲稿）轧钢中的浪费

轧钢中的浪费

轧钢中的浪费

1背景 ?你见过轧钢吗? 把粗大的钢坯变成合格的钢材如钢筋, 钢板)通常要经过两道工序第一道是粗 轧(热轧),形成钢材的雏形;第二道是精轧 冷轧得到规定长度的钢材,即成品 粗轧的长度是随机的大体上服从正态分 布,其均值可由轧机调整方差则由设备 的精度决定不能随意调整

1.背景 ? 你见过轧钢吗? 把粗大的钢坯变成合格的钢材(如钢筋, 钢板),通常要经过两道工序,第一道是粗 轧(热轧),形成钢材的雏形;第二道是精轧 (冷轧),得到规定长度的钢材,即成品. 粗轧的长度是随机的,大体上服从正态分 布,其均值可由轧机调整,方差则由设备 的精度决定,不能随意调整

如果粗轧后的钢材长度大于规定的长度, 则精轧时切除多出的部分;如果粗轧后 的钢材长度小于规定的长度则整根报废 因此,我们应该综合这两种情况,使得总 的浪费最小 问题重述:已知成品钢材的规定长度和 粗轧后钢材长度的均方差o试确定粗轧 后钢材的长度m,使得当轧机调整道m进 行粗轧再通过精轧来得到成品钢材时的 浪费最小

问题重述:已知成品钢材的规定长度l和 粗轧后钢材长度的均方差σ,试确定粗轧 后钢材的长度m,使得当轧机调整道m进 行粗轧,再通过精轧来得到成品钢材时的 浪费最小. 如果粗轧后的钢材长度大于规定的长度, 则精轧时切除多出的部分;如果粗轧后 的钢材长度小于规定的长度,则整根报废. 因此,我们应该综合这两种情况,使得总 的浪费最小

迎相关问题 (1)确定从家里出发的时间,以便不错过 火车或飞机; (2)包装机打包时均值的确定问题 问题分析记x为粗轧后钢材的长度,则 为一随机变量设xN(m,o2)(注:m>>o时 x几乎都是>=0,我们这里是近似反映现 实)其概率密度函数为p(x),这里G已知,m 待定记 P=P(x≥1)

相关问题 (1) 确定从家里出发的时间,以便不错过 火车或飞机; (2) 包装机打包时均值的确定问题. 问题分析 记 x 为粗轧后钢材的长度,则 为一随机变量,设x~N(m, σ 2 )(注:m>> σ时 x几乎都是>=0,我们这里是近似反映现 实),其概率密度函数为p(x).这里σ已知,m 待定.记 P = P(x  l)

巴由前可知轧钢中的浪费由两部分构成 当x>=时浪费钢材的长度为x 当x<时浪费钢材的长度为x 这两种事情都有可能发生发生,由密度函 数的定义可知粗轧时的长度在区间 xx+dx内的概率为p(x)dx因此,二者之 和即总的浪费长度为 W=(x-DP(xdx+xp(r)dx (1)

由前可知,轧钢中的浪费由两部分构成: 当x>=l 时,浪费钢材的长度为x-l; 当x<l 时,浪费钢材的长度为x. 这两种事情都有可能发生发生,由密度函 数的定义可知,粗轧时的长度在区间 [x,x+dx]内的概率为p(x)dx,因此,二者之 和即总的浪费长度为 (1) =  − +   l l W x l p x d x xp x d x 0 ( ) ( ) ( )

W=∫(x-D)p(x)x+」x(x)dx(1) 利用p(x)dx=1(x)x=m, ∫m(x)tx=P(y可化简得 W=m-lP (2)也可由直接的方法得到设想粗轧了 N根钢材 W≌mN-lPN m-lP

= − + (1)  −  l l W (x l) p(x)d x xp(x)d x W m lP (2) p x dx P p x dx xp x dx m l = − =  = =      −  − 可化简得 利 用 ( ) ,(1) ( ) 1, ( ) , (2)也可由直接的方法得到:设想粗轧了 N根钢材: m lP (3) N mN lPN W = − − =

W=m-lP (2) (2)式就是粗轧的期望浪费量 当然如果粗轧车间追求的是效益而不是 产量的话那么浪费的多少不应该以钢材 的平均浪费量为标准而应该以得到成品 材浪费的平均长度来衡量,也即将(3)式中 的分母改成PN W= mN-IPN =m-lP (3)

(2)式就是粗轧的期望浪费量. 当然,如果粗轧车间追求的是效益而不是 产量的话,那么浪费的多少不应该以钢材 的平均浪费量为标准,而应该以得到成品 材浪费的平均长度来衡量,也即将(3)式中 的分母改成PN. W = m− lP (2) m lP (3) N mN lPN W = − − =

2建模与求解 平均每根成品材浪费的钢材长度为 ≈mN-PNm (4) PN 由于是常数所以求(4式的最小与只保 留第一项时的最小嚯值点一样即 J(m) (5) P(m)

2.建模与求解 平均每根成品材浪费的钢材长度为 l (4) P m PN mN lPN J = − − 1 = 由于l是常数,所以求(4)式的最小与只保 留第一项时的最小值点一样,即 (5) ( ) ( ) P m m J m =

G求解为求出概率P进行变量代换以 便服从标准正态分布令 r-m = O X-m 则p(m)=p(x)x=」 2 2兀O 2 m=e2h=①( l+m = √2兀 这里Φ为标准正态分布的 分布函数记a==,b O O

求解 为求出概率P,进行变量代换,以 便服从标准正态分布,令 ,  x m y − = ( ) 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 2 2      l m e d y p m p x d x e d x l m y l x m l − + = =  = =     − −  −  − 则 , , .   l b m a = =  分布函数记 这 里 为标准正态分布的

巴(5式可表示为 ao J(a)= Φ(a-b) 令J(a)=0并记g(y)为标准正态 分布的密度函数有 dp(a-b)-ap(a-b)=0 记a-b=z,则z>0.上式可化为 Φ(z)/(z)=b+z

(5)式可表示为 (6) ( ) ( ) a b a J a  − =  ( ) ( ) 0 , ( ) 0 ( )  − − − =  = a b a a b J a y   分布的密度函数有 令 并 记 为标准正态 z z b z (7) a b z z  = + − =  ( )/ ( ) , 0.  记 则 上式可化为