华东交通大学：《数学模型》课程教学资源（PPT讲稿）报童的诀窍

报童的诀窍

报童的诀窍

背景 报童每天清晨从报社购进报纸零售,晚上将没有售 完的报纸退回问题:如果购进得太多就可能会在晚 上因退回太多的报纸而赔钱太多;当然购进得太少, 那也挣不了多少钱购进多少才合适呢? 模型的假设和记号: 设报纸每天的进价为b,零售价为a,退回价为c,显然 m>b>c.也就是说卖出一份报纸挣a-b退回一份报纸赔 bc.由于每天的报纸的需求量为随机变量设该报童的 销售范围内每天的报纸的需求量为分的概率为八r) 设每天购进报纸份报童的策略应该是在一个较长的时 间内的收入取得最大,也就是说每天收入的平均值最大

背景 报童每天清晨从报社购进报纸零售,晚上将没有售 完的报纸退回.问题:如果购进得太多,就可能会在晚 上因退回太多的报纸而赔钱太多;当然,购进得太少, 那也挣不了多少钱.购进多少才合适呢? 设报纸每天的进价为b,零售价为a,退回价为c,显然 a>b>c. 也就是说卖出一份报纸挣a-b,退回一份报纸赔 b-c. 由于每天的报纸的需求量为随机变量.设该报童的 销售范围内每天的报纸的需求量为r分的概率为f(r) . 模型的假设和记号: 设每天购进报纸n份.报童的策略应该是在一个较长的时 间内的收入取得最大,也就是说每天收入的平均值最大

设每天购进n份报纸的收入为g(m),平均收入为G(m)于 是 r≥n g(n)= r(a-b)-(n-r(b-c),r<n G(n)=∑r(a-b)-(n-r)b-c)(r)+∑m(a-b)f() 0 r=n+1 简化实际问题中和m的值都很大,可将视为连续 型随机变量设其概率密度函数为p(m),则上式为 G(n)=f[r(a-b)-(n-r(b-olp(r)dr+m n(a-b)p(r)dr

设每天购进n份报纸的收入为g(n),平均收入为G(n).于 是    − − − −  −  = ( ) ( )( ), . ( ), ; ( ) r a b n r b c r n n a b r n g n    = = + = − − − − + − 0 1 ( ) [ ( ) ( )( )] ( ) ( ) ( ) r n n r G n r a b n r b c f r n a b f r 简化:实际问题中r和n的值都很大,可将r视为连续 型随机变量,设其概率密度函数为p(r),则上式为    = − − − − + − n n G(n) [r(a b) (n r)(b c)]p(r)dr n(a b) p(r)dr 0

G(n)=[r(a-b)-(n-r(b-c)lP(r)dr+o n(a-b)p(r)dr 求解令G(m)=0得 (a-b)np(n)-(b-c)p(r)dr -(a-bnp(n)+(a-b)p(r)dr=0 to(b-c)(r)dr=(a-b)p(r)dr 或 「p(r) b b oo 或0)b=a m P(r)dr b-c a-c

   = − − − − + − n n G(n) [r(a b) (n r)(b c)]p(r)dr n(a b) p(r)dr 0 求解:令 G(n) = 0得 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 − − + − = − − −    n n a b np n a b p r dr a b np n b c p r dr    − = − n n (b c) p(r)dr (a b) p(r)dr 0 即 或 b c a b p r dr p r dr n n − − =    ( ) ( ) 0 a c a b p r dr n − −  = 0 或 ( )

图解法 p(rdr p a-b P( r)ar p b 结论解释:购进量n的选择应 该使得卖不完与卖完的概率 之比怡好等于卖出一份所挣 的钱与退回一份所赔的钱之 比

图解法 n P1 P2 b c a b P P p r dr p r dr n n − − = =    2 0 1 ( ) ( ) 结论解释:购进量n的选择应 该使得卖不完与卖完的概率 之比恰好等于卖出一份所挣 的钱与退回一份所赔的钱之 比