《固体物理 Solid State Physics》课程讲义：第四章 能带理论 Energy Bond Theory

第四章能带理论 Energy bond theory

第四章 能带理论 Energy Bond Theory

4.0引言 基本内容 单电子近似的基本思想 n布洛赫定理 金属自由电子的空晶格模型 能带的一般性 n电子在外场中的运动 n金属、半导体、绝缘体能带的差别 、学习要点 熟练掌握以下内容 布洛赫定理及能带的一般性 ¤能带的起因的物理解释,能带的一般特点 固体导电性与能带结构的关系

4.0 引言 ￾ 单电子近似的基本思想 ￾ 布洛赫定理 ￾ 金属自由电子的空晶格模型 ￾ 能带的一般性 ￾ 电子在外场中的运动 ￾ 金属、半导体、绝缘体能带的差别 一、基本内容 二、学习要点 熟练掌握以下内容 ￾ 布洛赫定理及能带的一般性 ￾ 能带的起因的物理解释，能带的一般特点 ￾ 固体导电性与能带结构的关系

4.1单电子近似 复杂性的起源一多体问题 晶体的总哈密顿量 2M +。∑ 个 Z R ∑ 方 e 2m87E r-r Z ∑ 4兀E0i,P R 薛定谔方程 H0(R,R2…R,,r2…r2)=E0(R,R2…R3,F,…r 问题:这个方程如何求解 即便这个方程解存在,有意义吗?

4.1 单电子近似 一、复杂性的起源－多体问题 问题：这个方程如何求解? 即便这个方程解存在，有意义吗？ 晶体的总哈密顿量 薛定谔方程 1 2 12 1 2 12 ˆ ( , ,, ) ( , ,, ) N Ne N Ne a a H E ϕ ϕ RR R rr r RR R rr r LL LL =

4.1单电子近似 、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似 价电子和内层电子的分离:内层电子与原子核一起运 动,构成离子实。离子实的质量和电荷量做相应调整; Born- Oppenheim『绝热近似:由于电子的响应速度极 快,因此可以将离子的运动与电子的运动分离 对于有电子运动与离子实运动相互耦合和离子实电子向价电 子转移的情况,绝热近似不成立

4.1 单电子近似 二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似

4.1单电子近似 、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似 离子实(原子)体系 离子实(原子)体糸决定着材料中声波的传播、热膨 胀、晶格比热、晶格热导率、结构缺陷等性能。 在离子(原子)体糸中,粒子的运动行为是通过经典 的 Newton运动方程所描述。 周期排列的离子实(原子)体糸的行为可以通过晶格 动力学理论处理,通过晶格振动中能量量子一声子描 述晶体的物理特性

4.1 单电子近似 二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似

4.1单电子近似 、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似 电子体系 电子体糸的薛定谔方程决定着材料的电导率、金属的 热导率、超导电性、能带结构、磁学性能等等。 方2 丌=∑ V2+ ∑ 2m87802 4丌E 01,P 问题:绝热近级后电子体系的哈密顿中含有电子>难依旧在

4.1 单电子近似 二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似 问题：绝热近似后，电子体系的哈密顿中含有电子 坐标的交叉项，薛定谔方程依然不能求解 困难依旧在

4.1单电子近似 三、 晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似 电子在周期势场中运动 若可以找到近似的势函数,使得体系的哈密顿量及薛定谔方程为: h V2+(r 2m 。V+()0(r,2…)=E0,…) 分离变量求解,获得N个形式完全相同的薛定谔方程,只须求解 个方程,多电子问题化简为单电子问题

4.1 单电子近似 三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似 电子在周期势场中运动 若可以找到近似的势函数，使得体系的哈密顿量及薛定谔方程为： 2 2 ˆ [ ( )] 2 j j j e H V m = − ∇+ ∑ r h 2 2 12 12 [ ( )] ( , ) ( , ) 2 j j N N j e V E m ∑ − ∇ + ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅ r rr r rr r ϕ ϕ h 分离变量求解，获得N个形式完全相同的薛定谔方程，只须求解一 个方程，多电子问题化简为单电子问题

4.1单电子近似 三、 晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似 单电子周期势场示意图 Hartree自洽场近似 密度泛函理论 一局城密度近似 一准粒子近似

4.1 单电子近似 三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似 单电子周期势场示意图

4.2布洛赫(Boch)定理 BOch定理内容 P(r)=u(r)er 4():与晶格平移周期一致的周期函数 l4(r)=4(r+R) R=la+l2a2+1a3(12)为整数

4.2 布洛赫（Bloch）定理 一、Bloch定理内容 k r r r ⋅ = i k k ϕ ( ) u ( )e uk(r): 与晶格平移周期一致的周期函数 11 2 2 33 1 2 3 () ( ) (, , ) k kl l u u l l l lll = + =+ + r rR Raaa 为整数

4.2布洛赫(Boch)定理 二、 Bloch定理的物理理解 Q2必然具有同晶体一致的周期性 晶体具有平移周期性 l4(P)必然具有同晶体一致的周期性 波函数可以有任意常复数因子 晶体中价电子可用被周期调制的 价电子的基本特征: 自由电子波函数描述 1.价电子的局域性 囗周期函数反映了电子的局域特性 2.价电子的非局域性 自由电子波函数反映了电子的非 局域特性

价电子的基本特征： 1. 价电子的局域性 2. 价电子的非局域性 ￾ 晶体中价电子可用被周期调制的 自由电子波函数描述 ￾ 周期函数反映了电子的局域特性 ￾ 自由电子波函数反映了电子的非 局域特性 二、Bloch定理的物理理解 4.2 布洛赫（Bloch）定理 晶体具有平移周期性 |ϕ|2必然具有同晶体一致的周期性 uk(r)必然具有同晶体一致的周期性 波函数可以有任意常复数因子