《固体物理 Solid State Physics》课程讲义：第三章 金属自由电子理论 Free Electronic Theory of Metals

第三章金属自由电子理论 Free Electronic Theory of Metals

第三章 金属自由电子理论 Free Electronic Theory of Metals

30引言 基本内容 经典电子理论及其局限性 n量子自由电子理论 态密度及费米面 金属的接触势差 电子比热 、学习要点 n掌握量子理论的提出过程 掌握态密度的求法 n熟练掌握费米面的概念

3.0 引言 ￾ 经典电子理论及其局限性 ￾ 量子自由电子理论 ￾ 态密度及费米面 ￾ 金属的接触势差 ￾ 电子比热 一、基本内容 二、学习要点 ￾ 掌握量子理论的提出过程 ￾ 掌握态密度的求法 ￾ 熟练掌握费米面的概念

3.1自由电子的经典理论 德鲁得( Denude)理论的基本假定 金属中的价电子可以看成是自由电子,即电子所受的势函数 为常数; 电子一电子,电子一晶格之间存在瞬间弹性碰撞; n弛豫时间假定 这是最简单的金属键模型

3.1 自由电子的经典理论 ￾ 金属中的价电子可以看成是自由电子，即电子所受的势函数 为常数； ￾ 电子－电子，电子－晶格之间存在瞬间弹性碰撞； ￾ 弛豫时间假定 德鲁得（Derude）理论的基本假定 这是最简单的金属键模型

3.1自由电子的经典理论 德鲁得( Denude)理论关于金属电导率的理论处理 E 按弛豫时间近心W/eE J=-=oe where p= resistivity conductiv J=neva where n= carrier density 'd=drift velocity 单位时间 he2 where t= scattering time 单位面积:s=1 n Drift velocity va is net motion of electrons( 0. 1 to 10- m/s) n Scattering time t is time between electron-lattice collisions

3.1 自由电子的经典理论 德鲁得（Derude）理论关于金属电导率的理论处理 vt s 单位时间：t = 1 单位面积：s = 1 E where resistivity conductivity E J E ρ σ ρ σ = = = = v ur v where carrier density drift velocity d d n v J n e v = = = r r ￾ Drift velocity vd is net motion of electrons (0.1 to 10-7 m/s). ￾ Scattering time τ is time between electron-lattice collisions. 2 where scattering time m ne ρ τ τ = = mv eE d = − τ r v 按弛豫时间近似：

3.1自由电子的经典理论 德鲁得( Denude)理论的困难 n Temperature dependence of resistivity E E /e /e 0=一= ne ne lat ne T Metal Resistance increases with Temperature Why?↑emp→↓r, n same(same# conduction electrons)→↑p Semiconductor: Resistance decreases with Temperature Why?Temp→r,↑n(“ free-up carriers to conduct))→

2 1 ( ) E d F ma E m e e J ne v ne a n ne ρ τ τ τ == = = ∝ • Metal: Resistance increases with Temperature. • Why? ↑Temp ⇒ ↓τ, n same (same # conduction electrons) ⇒ ↑ρ • Semiconductor: Resistance decreases with Temperature. • Why? ↑Temp ⇒ ↓τ, ↑n (“free-up” carriers to conduct) ⇒ ↓ρ ￾ Temperature dependence of resistivity. 3.1 自由电子的经典理论 德鲁得（Derude）理论的困难

3.2自由电子的量子理论 、波函数与能级 薛定谔方程: Vy=Ey 2m 平面波形式的解:V/()=ve ik.r 其中为电子的位置矢量,k为波矢量 九2k E Lp=hk 2m 上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质,它的动量具有确定值,速度与波的 群速度一致,而坐标不受任何限制,电子在空间各电出现的几率相等.在金属的 自由电子论中,电子的势能为零,但它不完全自由,它的位置受金属边界的限制

3.2 自由电子的量子理论 ψ Eψ m − ∇ = 2 2 2 h ik r r e r r r ⋅ = 0 ψ( ) ψ 薛定谔方程： 平面波形式的解 : 其中 为电子的位置矢量， 为波矢量 r . r k r m k E 2 2 2 h = p k r h r = 上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质，它的动量具有确定值，速度与波的 群速度一致，而坐标不受任何限制，电子在空间各电出现的几率相等.在金属的 自由电子论中，电子的势能为零，但它不完全自由，它的位置受金属边界的限制. 一、波函数与能级

3.2自由电子的量子理论 、周期性边界条件 周期性边界条件: v(7+L)=v()---(1) (F+L1)=V(F)---(2) (+L)=v()--(3)L=M 将周期性边界条件(1)式与金属电子的波动方程联立得: =1□、2 丌 0,+1,±2, 2兀n.,1 0±1±2 同理有 丌 n.n.=0±1±2 能级E=< nx +- m2212

3.2 自由电子的量子理论 一、周期性边界条件 周期性边界条件： ( ) ( ) (3) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) (1) + = − − − + = − − − + = − − − r L r r L r r L r z y x r r r r r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ 将周期性边界条件（1）式与金属电子的波动方程联立得： =1 xLx ik e , 0, 1, 2,L 2 = x x = ± ± x x n n L k π 同理有： , 0, 1, 2,L 2 = y y = ± ± y y n n L k π , 0, 1, 2,L 2 = z z = ± ± z z n n L k π 1 1 2 2 3 3 x y x L N a L N a L N a = = = ( ) 2 22 22 2 2 2 2 z z y y x x L n L n L n m E = + + π h 能级

3.3费米面与态密度 「一、我米面 电子气中的粒子满足泡利不相容原理,服从费米一狄拉克统计,在 平衡时,能量为E的能级被电子占据的几率为: f(e) Fermi-Dirac分布 kpT 其中:4为电子的化学势,一般称绝对零度下的电子化学势为费米面 T=0K时, fE E>EF:f(E)=0状态全空1 E<EF:f(E)=1状态全被占据 E

• • • • • • • • • • • • • • • • EF 3.3费米面与态密度 一、费米面 电子气中的粒子满足泡利不相容原理，服从费米—狄拉克统计，在 平衡时，能量为E的能级被电子占据的几率为： 1 ( ) 1 B E k T f E e −μ = + —Fermi- Dirac 分布 其中：μ 为电子的化学势, 一般称绝对零度下的电子化学势为费米面 T=0K时， μ＝EF : () 0 : () 1 F F E E fE E E fE > = < = E f(E) 1 状态全空 EF 状态全被占据

3.3费米面与态密度 二、费米面的物理意义 费米能级在k空间的等能面一费米面 绝对零度下,金属中电子态被占据和未被占据的能级分界面 费米能级是绝对零度下电子的化学势; 自由电子的费米面为球面。 特别提示: 有些教科书、专著或文章中,将任何温度下的电子化 f(e 学势均称为费米面,此时费米能级是温度的函数,而 绝对零度下的费米能级记为:EF k,T=0 kBT=I kgT=2.5 kT=0 EE 0 E>>ER 0 E>>EF 费米分布曲线

3.3费米面与态密度 二、费米面的物理意义 ￾ 费米能级在k空间的等能面－费米面； ￾ 绝对零度下，金属中电子态被占据和未被占据的能级分界面； ￾ 费米能级是绝对零度下电子的化学势； ￾ 自由电子的费米面为球面。 特别提示： 有些教科书、专著或文章中，将任何温度下的电子化 学势均称为费米面，此时费米能级是温度的函数，而 －绝对零度下的费米能级记为：EF0 1 1 ( ) + = − k T E E B F e f E a 0 . kBT = ⎪⎩ ⎪⎨⎧ > = > = > = << = F F F 0 2 1 1 ( ) E E E E E E f E 费米分布曲线 k BT = 1 k T = 0 B k T = 2.5 B

3.3费米面与态密度 三、费米面计算方法及态密度 系统中的电子总数: E-E +1 n=f(e)G(eJdE gledE g(E)是电子的态密度 十分重要

系统中的电子总数： 1 1 F B E E E k T N e − = + ∑ 3.3费米面与态密度 三、费米面计算方法及态密度 0 0 0 ()() ( ) EF N f E g E dE g E dE ∞ = = ∫ ∫ g(E) 是电子的态密度 －－十分重要