珠海科技学院：《数字信号处理》课程教学资源（习题讲解）第二章

第二章习题讲解 2024/10/21

第二章习题讲解 2024/10/21 1

2-1求以下序列的z变换并画出零极点图和 收敛域： ②)an 降，na-立w-r片1 1-7 +jIm[=] 零点：2=0 极点： 1/2 =2 Re[z] 收敛域：> 2 2024/10/21 2

2-1求以下序列的z 变换并画出零极点图和 收敛域： 解：  ( ) ( )  n n ZT x n x n z  − =− =  1 1 1 2 z −  零点： z = 0 极点： 1 2 z = 1 ( ) ( ) 2 n x n u n   =     (2) 0 1 2 n n n z  − =   =      1 2 z z = − 1 1 1 1 2 z − = − 收敛域： 1 2 z  Re[ ]z j z Im[ ] 0 1/ 2 2024/10/21 2

3))=g) 解： Zxo-xm->)-2 2z 12z<1 1-2z 2 零点：2=0 +jIm[z] 极点： 1 Re[z] 收敏域：H 2024/10/21 3

解：   1 1 ( ) ( ) 2 n n n n n ZT x n x n z z  − − − =− =−   = = −      1 ( ) ( 1) 2 n x n u n   = − − −     （ 3 ） 零点： z = 0 极点： 12 z = 收敛域： 12 z  1 2 n n n z = = −  2 1 2 12 z z z z = − = − − 2 1 z  Re[ ]z j z Im[ ] 0 1/ 2 2024/10/21 3

2-2假如x(n)的z变换代数表示式是下式， 问X()可能有多少不同的收敛域，它们分 别对应什么序列？ 2024/10/21 4

( ) 2 2 1 2 1 1 4 1 5 3 1 1 4 4 8 z X z z z z − − − − − =       + + +    x n( ) X z( ) 2-2 假如 的z变换代数表示式是下式， 问 可能有多少不同的收敛域，它们分 别对应什么序列？ 2024/10/21 4

解：对X()的分子和分母进行因式分解，得 -2 X()= （- 〔++20 +-3+ 2024/10/21 5

解：对 X z( ) 的分子和分母进行因式分解，得 ( ) 2 2 1 2 1 1 4 1 5 3 1 1 4 4 8 z X z z z z − − − − − =       + + +    1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 1 1 4 2 4 z z z z z − − − − −       − +    =         + + +     1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 2 2 4 z jz jz z − − − − − =         + − +     2024/10/21 5

罗点：0极点：子 所以X(z)的收敛域为： ◆jIm[z] D H< 为左边序列 12 0.5 Re[z] /2 2024/10/21 6

1 1 1 1 1 1 2 ( ) 1 1 3 1 1 1 2 2 4 z X z jz jz z − − − − − =             + − +       1 , 0 2 零点：z = 3 2 2 4 j j 极点： ，- ，- z = 1 1 2 ） ，为左边序列 z  所以 的收敛域为： X z( ) Re[ ]z j z Im[ ] 0 −3/ 4 j /2 − j /2 0.5 2024/10/21 6

Q2

1 3 2 2 4 ） ，为双边序列   z 3 3 4 ） ，为右边序列 z  Re[ ]z j z Im[ ] 0 −3/ 4 j /2− j /2 0.5 Re[ ]z j z Im[ ] −3/ 4 0 j /2 − j /2 0.5 2024/10/21 7

2-3用长除法，留数定理，部分分式法求以下X(2) 的z反变换 1) X(a) > -2 解：①长除法 X(z)= 2024/10/21 6

1 2 1 1 2 ( ) 1 1 4 z X z z − − − = − （1） 1 2 z  解：①长除法 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 z z z z − − − − − = =    + − +       2-3 用长除法，留数定理，部分分式法求以下 的z反变换 X z( ) 1 2 1 1 2 ( ) 1 1 4 z X z z − − − = − 2024/10/21 8

由Roc判定x(n)是 右边序列，用长 )1 除法展成z的负 幂级数，分子分 母按z的降幂排 列 X(a)=1- 2 .x(n) （w 2024/10/2 9

1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 4 1 1 2 4 1 2 z z z z z z − − − − − − + + − − − 1 1 1 2 1 2 4 z z − − 由Roc判定x(n)是 − + + 右边序列，用长 除法展成z的负 幂级数，分子分 母按z的降幂排 列 1 1 1 2 ( ) 1 2 4 X z z z − − = − + + 0 1 2 n n n z  − =   = −     1 ( ) ( ) 2 n x n u n    = −    2024/10/21 9

②留数法 又1imX(z)=1即o处X(z)收敛 .x(n)为因果序列即x(n)=0,n<0 之1 当n≥0时，F(z)=X(z)z"-1= 1+-2 Z+ 2 2 F()在围线c内只有一个 jlm[z] 单阶极点：月 0.5 Re[z] 2024/10/21 10

1 : lim ( ) 1 ( ) 2 z ROC z X z X z →   =  又 即 处 收敛 ②留数法  =  x n x n n ( ) ( ) 0 0 为因果序列 即 ， 当 n  0 时， 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 n n n z z F z X z z z z − − − = = = + + 在围线c内只有一个 单阶极点 1 2 z = − F z( ) Re[ ]z j z Im[ ] 0 C −0.5 2024/10/21 10