重庆大学：《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第三章 扭转

第三章扭转 教学目标和教学内容 1.教学目标 掌握扭转内力的计算方法;正确理解并熟练掌握扭转剪应力、扭转变形的 计算方法、剪切胡克定律和剪应力互等定理、扭转强度和扭转刚度计算 教学内容 ①外力偶矩的计算,扭矩、扭矩图,纯剪切。 ②圆轴扭转时的应力和变形,扭转的强度条件和刚度条件。 ③扭转的强度计算和刚度计算。 ⊕扭转静不定问题,非圆截面杆扭转。 二、重点难点 重点:圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度,圆轴扭转变形时的刚度和变形(相 对扭转角)计算 难点:扭转剪应力推导过程 重点处理:通过例子,关键理解τm是指整个轴上的T面上的最外边缘点(等截面); T 对变截面可用rm ;严格区分刚度和扭转角的区别 难点处理:结合、对比a 的推导过程,和薄壁圆筒横截面上τ的推导,让学生思 考可能采用的方法,然后在讲解 、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题,达到课堂互动 四、建议学时 6学时 五、讲课提纲

1 第三章 扭 转 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 掌握扭转内力的计算方法；正确理解并熟练掌握扭转剪应力、扭转变形的 计算方法、剪切胡克定律和剪应力互等定理、扭转强度和扭转刚度计算。 2．教学内容 ○1 外力偶矩的计算，扭矩、扭矩图，纯剪切。 ○2 圆轴扭转时的应力和变形，扭转的强度条件和刚度条件。 ○3 扭转的强度计算和刚度计算。 ○4 扭转静不定问题，非圆截面杆扭转。 二、重点难点 重点：圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度，圆轴扭转变形时的刚度和变形（相 对扭转角）计算。 难点：扭转剪应力推导过程 重点处理：通过例子，关键理解 max  是指整个轴上的 Tmax 面上的最外边缘点（等截面）； 对变截面可用 max max         = Wp T  ；严格区分刚度和扭转角的区别 难点处理：结合、对比 A N  = 的推导过程，和薄壁圆筒横截面上  的推导，让学生思 考可能采用的方法，然后在讲解。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题，达到课堂互动。 四、建议学时 6 学时 五、讲课提纲

1、扭转的概念: 杆件发生扭转变形的受力特点是:在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用 平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。图所示的就是杆件受扭的最简单情况 杆件扭转变形的特点是:当杆件发生扭转变形时,任意两个横截面将绕杆轴线 作相对转动而产生相对角位移,称为该两个横截面的扭转角,用q表示。图中的qeA 表示杆件右端的B截面相对于左端A截面的扭转角。 2、外力偶矩的计算,扭矩和扭矩图 2.1外力偶矩的计算: 已知轴所传递的功率和轴的转速,则外力偶矩m(N·m) m=9549 N一功率,单位为千瓦(KW) n—转速,单位为r/min 2.2扭转时的内力一一扭矩: 扭矩:受扭杆件横截面上的内力是作用在该截面上的力偶,该力偶之矩称扭 矩(M1) 扭矩的计算方法一一截面法(假设扭矩为正,即设正法) 扭矩的符号规则一一右手螺旋法则 2.3扭矩图 表示杆件各横截面上的扭矩沿杆轴的变化规律

2 1 、扭转的概念： 杆件发生扭转变形的受力特点是：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用 平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。图所示的就是杆件受扭的最简单情况。 杆件扭转变形的特点是：当杆件发生扭转变形时，任意两个横截面将绕杆轴线 作相对转动而产生相对角位移，称为该两个横截面的扭转角，用表示。图中的B-A 表示杆件右端的 B 截面相对于左端 A 截面的扭转角。 2 、外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 2.1 外力偶矩的计算： 已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩 m （N•m） n N m = 9549 N——功率，单位为千瓦（KW） n——转速，单位为 r/min 2.2 扭转时的内力——扭矩： 扭矩：受扭杆件横截面上的内力是作用在该截面上的力偶，该力偶之矩称扭 矩（Mt）。 扭矩的计算方法——截面法（假设扭矩为正，即设正法） 扭矩的符号规则——右手螺旋法则 2.3 扭矩图: 表示杆件各横截面上的扭矩沿杆轴的变化规律

3、薄壁圆筒的扭转、纯剪切 3.1薄壁圆筒扭转时的应力: 3.1.1实验研究 3.1.2变形特点 (1)各纵向线倾斜了同一微小角度y,矩形歪斜成平行四边形 (2)各圆周线的形状、大小和间距不变,只是各圆周线绕杆轴线转动了不同 的角度。 3.1.3应力分布:横截面上只有切于截面的剪应力τ,它组成与外加扭矩m相平衡的内 力系。因壁厚t很小,假设均匀分布且沿各点圆周的切线方向。 由平衡条件∑m2=0得 2mt·r·r=n 2 试中:r为圆筒的平均半径。 3.2剪应力互等定理: 从薄壁中,用两个横截面和两个纵截面取出一个单元体,如图所示。 由平衡方程∑m2=0得 xtdb)·a=(r'tx)d ◆◆结论:在单元体互相垂直的两个平面上,剪应力必然成对存在,且数值 相等;二者都垂直于两平面的交线,其方向则共同指向或共同背离两平面的交线, 这种关系称剪应力互等定理。该定理具有普遍性,不仅对只有剪应力的单元体正 确,对同时有正应力作用的单元体亦正确

3 3 、薄壁圆筒的扭转、纯剪切 3.1 薄壁圆筒扭转时的应力： 3.1.1 实验研究 3.1.2 变形特点： （1）各纵向线倾斜了同一微小角度  ，矩形歪斜成平行四边形； （2）各圆周线的形状、大小和间距不变，只是各圆周线绕杆轴线转动了不同 的角度。 3.1.3 应力分布：横截面上只有切于截面的剪应力，它组成与外加扭矩 m 相平衡的内 力系。因壁厚 t 很小，假设均匀分布且沿各点圆周的切线方向。 由平衡条件 mx = 0 得 2rt  r = m r t m 2 2  =   试中：r 为圆筒的平均半径。 3.2 剪应力互等定理： 从薄壁中，用两个横截面和两个纵截面取出一个单元体，如图所示。 由平衡方程 mz = 0 得 ( tdy) dx = (  tdx) dy  =   结论：在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值 相等；二者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离两平面的交线， 这种关系称剪应力互等定理。该定理具有普遍性，不仅对只有剪应力的单元体正 确，对同时有正应力作用的单元体亦正确

规定:使单元体绕其内部任意点产生顺时针方向转动趋势的剪应力为正,反 之为负 单元体上只要剪应力而无正应力的情况称为纯剪切应力状态 3.3剪切胡克定律: 剪应变的定义:在剪应力作用下,单元体的直角将发生微 小 的改变,这个直角的改变量y称为剪应变。 剪切胡克定律: 实验表明,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时,τ与γ成正比,即 G—一剪切弹性模量 2(1+) 4、圆轴扭转时的应力及强度计算 4.1横截面上的应力 4.1.1变形几何关系 根据实验结果可以得到与薄壁圆筒相同的实验现象,可以认为这是圆轴扭转 变形在其表面的反映,根据这些现象可由表及里地推测圆轴内部的变形情况。可以 设想,圆轴的扭转是无数层薄壁圆筒扭转的组合,其内部也存在同样的变形规律, 这样,根据圆周线形状大小不变,两相邻圆周线发生相对转动的现象,可以设想, 圆轴扭转时各横截面如同刚性平面 样绕轴线转动,即假设圆轴各横 截面仍保持为一平面,且其形状大 小不变;横截面上的半径亦保持为 直线,这个假设称平面假设。根

4 规定：使单元体绕其内部任意点产生顺时针方向转动趋势的剪应力为正，反 之为负。 单元体上只要剪应力而无正应力的情况称为纯剪切应力状态。 3.3 剪切胡克定律： 剪应变的定义：在剪应力作用下，单元体的直角将发生微 小 的改变，这个直角的改变量  称为剪应变。 剪切胡克定律： 实验表明，当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，  与  成正比，即  = G G——剪切弹性模量 2(1 + ) = E G 4、圆轴扭转时的应力及强度计算 4.1 横截面上的应力 4.1.1 变形几何关系 根据实验结果可以得到与薄壁圆筒相同的实验现象，可以认为这是圆轴扭转 变形在其表面的反映，根据这些现象可由表及里地推测圆轴内部的变形情况。可以 设想，圆轴的扭转是无数层薄壁圆筒扭转的组合，其内部也存在同样的变形规律， 这样，根据圆周线形状大小不变，两相邻圆周线发生相对转动的现象，可以设想， 圆轴扭转时各横截面如同刚性平面 一样绕轴线转动，即假设圆轴各横 截面仍保持为一平面，且其形状大 小不变；横截面上的半径亦保持为 一直线，这个假设称平面假设。根

据圆轴的形状和受力情况的对称性,可证明这一假设的正确性。根据上述实验现象 还可推断,与薄壁圆筒扭转时的情况一样,圆轴扭转时其横截面上不存在正应力, 仅有垂直于半径方向的切应力τ作用。 变形几何关系 yp≈1gp dA 4.1.2物理关系 T=Gr G do 4.1.3静力关系 ProdA=T gp dx dA=t P dA=T 单位长度上的扭转角(同一截面上为一定值) =J,p2d-—截面对形心的极惯性矩(与截面形状、大小有关的几何量) do T dx GI ln的计算: 实心轴

5 据圆轴的形状和受力情况的对称性，可证明这一假设的正确性。根据上述实验现象 还可推断，与薄壁圆筒扭转时的情况一样，圆轴扭转时其横截面上不存在正应力，， 仅有垂直于半径方向的切应力作用。 变形几何关系： dx d ab bb tg       =   = 4.1.2 物理关系  = G dx d G G    =   =   4.1.3 静力关系  = A  dA T  = A dA T dx d G   2 ，   = A dA T dx d G 2   dx d ——单位长度上的扭转角（同一截面上为一定值）  = A I dA 2   ——截面对形心的极惯性矩（与截面形状、大小有关的几何量）   GI T dx d = ∴     =  I T  I 的计算： 32 4 D I   = ——实心轴

d (1-a) (内外径之比)一一空心轴 4.2强度计算 强度条件 TR_Ts(t 式中:W=—抗扭截面模量〔系数) zD3 W1=16 实心轴 W (1-a4)—一空心轴 对等直圆轴:rm W 解决三类强度问题: 1、校核强度 2、选择截面尺寸 3、计算许用荷载 5、圆轴扭转时的变形和刚度计算 5.1扭转变形 扭转角(φ):任意两横截面相对转过的角度 do dx dxGⅠ - dx

6 D D d I = −  =   (1 ), 32 4 4 （内外径之比）——空心轴 4.2 强度计算 强度条件： [ ] max    =   = Wt T I T R 式中： R I Wt  = ——抗扭截面模量（系数） 16 3 D Wt  = ——实心轴 16 3 D Wt  = 1 ) 4 （ − ——空心轴 对等直圆轴： Wt Tmax  max = 解决三类强度问题： 1、 校核强度 2、选择截面尺寸 3、计算许用荷载 5、圆轴扭转时的变形和刚度计算 5.1 扭转变形 扭转角（  ）：任意两横截面相对转过的角度    GI T dx d = dx GI T d   = dx GI T d l   = = 0   

在C,轴为等截面条件下 (弧度 GL,——截面的抗扭刚度(φ与GL,成反比、反映截面抵抗扭转变形的能力) 5.2刚度条件 构件除应满足强度条件外,有时还需满足刚度要求。特别在机械传动轴中, 对刚度要求较髙,如车床的丝杆,扭转变形过大就会影响螺纹加工精度;镗床主 轴变形过大则会产生剧烈的振动,影响加工精度和光洁度。 为了避免刚度不够而影响正常使用,工程上对受扭构件的单位长度扭转角进 行限制,即 (rad/m) 刚度条件:O≤[( 可解决三类刚度问题 6、扭转静不定问题 7、非圆轴截面杆扭转的概念 7.1矩形截面杆扭转 矩形截面杆扭转后横截面不再保持为平面,要发生翘曲。材料力学方法不能研究 这一问题,需用弹性力学知识来解决。 矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无 约束,翘曲程度不受任何限制的情况,属于自由扭转 此时,杆各横截面的翘曲程度相同,纵向纤维长度无变

7 在 T=C，轴为等截面条件下   GI T  l = （弧度） GI ——截面的抗扭刚度（  与 GI  成反比、反映截面抵抗扭转变形的能力） 5.2 刚度条件 构件除应满足强度条件外，有时还需满足刚度要求。特别在机械传动轴中， 对刚度要求较高，如车床的丝杆，扭转变形过大就会影响螺纹加工精度；镗床主 轴变形过大则会产生剧烈的振动，影响加工精度和光洁度。 为了避免刚度不够而影响正常使用，工程上对受扭构件的单位长度扭转角进 行限制，即    GI T l = = （rad/m） 刚度条件： [ ]  max   [ ] max    GI T 可解决三类刚度问题。 6、扭转静不定问题 7、非圆轴截面杆扭转的概念 7.1 矩形截面杆扭转 矩形截面杆扭转后横截面不再保持为平面，要发生翘曲。材料力学方法不能研究 这一问题，需用弹性力学知识来解决。 矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无 约束，翘曲程度不受任何限制的情况，属于自由扭转。 此时，杆各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维长度无变

化,横截面上只有剪应力,没有正应力。杄一端被约束,杆各横截面的翘曲程度不同, 横截面上不但有剪应力,还有正应力,这属于约束扭转。 矩形截面杆自由扭转时,其横截面上的剪应力计算有以下特点: (a)截面周边各点处的剪应力方向与周边平行(相切); (b)截面角点处的剪应力等于零 (c)截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处,其计算式为 M 式中h-一矩形截面长边的长度; 矩形截面短边的长度; 与截面尺寸的比值有关的系 7.2薄壁杆件的自由扭转 7.21开口薄壁杆件的自由扭转 3T. Tt h21 从上式看出,当t1为最大值时,剪应力也最大。所以,整个截面上最大剪应力发生在厚度最 大的狭长的长边中点处,其值为xm1 7.22闭口薄壁杆件的自由扭转 横截面上任意点处的剪应力与壁厚的乘积为一常数C=,称为剪力流

8 化，横截面上只有剪应力，没有正应力。杆一端被约束，杆各横截面的翘曲程度不同， 横截面上不但有剪应力，还有正应力，这属于约束扭转。 矩形截面杆自由扭转时，其横截面上的剪应力计算有以下特点： (a)截面周边各点处的剪应力方向与周边平行(相切)； (b)截面角点处的剪应力等于零； (c)截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处，其计算式为 max 2 ht Mn   = 式中 h——矩形截面长边的长度； t ——矩形截面短边的长度；  ——与截面尺寸的比值 l h 有关的系 数。 7.2 薄壁杆件的自由扭转 7.2.1 开口薄壁杆件的自由扭转 i  = 2 3 i i i h t T = t i I Tt 从上式看出，当 i t 为最大值时，剪应力 i  也最大。所以，整个截面上最大剪应力发生在厚度最 大的狭长的长边中点处，其值为 max  = t I Ttmax 7.2.2 闭口薄壁杆件的自由扭转 横截面上任意点处的剪应力与壁厚的乘积为一常数 C=t ，称为剪力流 max  = min t C = 2 min t T 