重庆大学：《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第四章 平面图形的几何性质

第四章平面图形的几何性质 、教学目标和教学内容 1.教学目标 1.1掌握静矩和形心的概念和计算方法 1.2掌握惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概念和计算方法 1.3掌握惯性矩和极惯性矩的关系。 1.4熟练掌握某些几何量在不同坐标系中的转换公式—一—平行移轴公式、转轴公 式的应用。 1.5掌握主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩的定义及计算方法。 掌握组合图形几何性质的计算方法。 2.教学内容 静矩和形心;惯性矩、惯性积和惯性半径;平行移轴公式、转轴公式、主惯性轴、 主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩 二、重点难点 重点:描述平面图形几何性质的各种几何量的定义及计算。平行移轴公式和转轴 公 难点:组合图形几何性质的计算;某些平面图形几何性质的计算。 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题 四、建议学时 4学时 五、讲课提纲 1、截面静矩 从截面中坐标为(yx)处取面积元素dA,ydA和zdA分别称为面积元素dA对 z和y轴的静矩。平面图形对z轴和y轴的静 矩为

1 第四章 平面图形的几何性质 一、教学目标和教学内容 1． 教学目标 1. 1.1 掌握静矩和形心的概念和计算方法。 1.2 掌握惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概念和计算方法。 1.3 掌握惯性矩和极惯性矩的关系。 1.4 熟练掌握某些几何量在不同坐标系中的转换公式——平行移轴公式、转轴公 式的应用。 1.5 掌握主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩的定义及计算方法。 掌握组合图形几何性质的计算方法。 2． 教学内容 静矩和形心；惯性矩、惯性积和惯性半径；平行移轴公式、转轴公式、主惯性轴、 主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩 二、重点难点 重点：描述平面图形几何性质的各种几何量的定义及计算。平行移轴公式和转轴 公式。 难点：组合图形几何性质的计算；某些平面图形几何性质的计算。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 4 学时 五、讲课提纲 1、截面静矩 从截面中坐标为(y x)处取面积元素 dA，ydA 和 zdA 分别称为面积元素 dA 对 z 和 y 轴的静矩。平面图形对 z 轴和 y 轴的静 矩为：  = A z S ydA

S,=ed4 匀质薄板形心公式 dA A ∴S==y2A,S2==4 (a)当S=0→y=0,即平面图形对某一轴的静矩为零,则该轴必然过形心 (b)当y=0→S=0,即若某一轴通过形心,则图形对该轴的静矩为零。 (c)由平面图形的形心必在对称轴上,故平面图形对于对称轴的静矩总是 等于零。 (d)静矩是截面对于一定的坐标轴而言的,同一截面对于不同的坐标轴, 其静矩不同。 静矩可正可负,也可为零。 2、组合图形的静矩与形心坐标的关系 组合截面对某轴的静矩等于组成它的各简单截面对某轴静矩的代数 和。即 s,=∑42,S2=∑Aya ∑Aya ∑AZ。 形心位置:y。27=A

2  = A y S zdA 匀质薄板形心公式： A ydA y A c  = A zdA z A c  = ∴ Sz = yc A， Sz = zc A （a）当 Sz=0yc=0，即平面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必然过形心； （b）当 yc = 0 Sz=0，即若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩为零。 （c）由平面图形的形心必在对称轴上，故平面图形对于对称轴的静矩总是 等于零。 （d）静矩是截面对于一定的坐标轴而言的，同一截面对于不同的坐标轴， 其静矩不同。 静矩可正可负，也可为零。 2、组合图形的静矩与形心坐标的关系 组合截面对某轴的静矩等于组成它的各简单截面对某轴静矩的代数 和。即 = = n i y AiZci s 1 ， = = n i z i ci S A y 1 形心位置：   = = = = 1 1 i i n i i ci z c A A y A S y ，   = = = n i i n i i ci c A A Z Z 1 1

3、惯性矩、极惯性矩和惯性积 惯性矩:(恒为正) 12=2A,l,=12A VA i,i——截面对z、y轴的惯性半径 极惯性矩:(恒为正) 「,ya4+2a4=l2+ 惯性积:(可正可负,也可为零) 如果图形有一个对称轴,则hz=0 4、平行移轴公式 LVda=l(a+y)'da=a dA+2a y dA+y2 dA=1 ta'A 同理可得l,=12+b 形心c(b

3 3、惯性矩、极惯性矩和惯性积 惯性矩：（恒为正）  = A I z y dA 2  = A I y z dA 2  = A I dA 2   A I i A I I i A I i A i y y z z = z  , y = y   z = , = 2 2 z y i ,i ——截面对 z、y 轴的惯性半径。 极惯性矩：（恒为正）     = = + = + = + A A z y A A I dA y z dA y dA z dA I I 2 2 2 2 2  ( )  惯性积：（可正可负，也可为零）  I = yzdA z y 如果图形有一个对称轴，则 Iyz = 0 4、平行移轴公式 I y dA a y dA a dA a y dA y dA I a A A z A c c A A c A z c 2 2 2 2 2 ( ) 2      = = + = + + = + 同理可得 I I b A c y y 2 = + I I abA c c yz = y z +

它表明,截面对任一轴的惯性矩,等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性 矩,再加上截面的面积与形心到该轴间距离平方的乘积;截面对任意两相互垂直 轴的惯性积,等于它对于与该两轴平行的两形心轴的惯性积,再加上截面的面积 与形心到该两轴间距离的乘积 在平面图形对所有互相平行轴的众多惯性矩中,平面图形对形心轴的惯性矩 为最小 5、转轴公式 任意平面图形(如图I-9)对y轴和轴的惯性矩和惯性积,可由式(I-5) 9)求得,若将坐标轴y,z绕坐标原点O点旋转a角,且以逆时 针转角为正,则新旧坐标轴之间应有如下关系 Vi=cosa+=sin a -1=2cosa-ysin a 将此关系代入惯性矩及惯性积的定义式,则可得相 应量的新、旧转换关系,即转轴公式 =2(12+1)=2(833+1466)=4598cm Ⅰ- 2 cOs 2a-I 2a (I-14) -cos 2a+ sin 2a 6、形心主惯性轴、形心主惯性矩 6.1定义 6.1.1主惯性轴主惯性矩

4 它表明，截面对任一轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性 矩，再加上截面的面积与形心到该轴间距离平方的乘积；截面对任意两相互垂直 轴的惯性积，等于它对于与该两轴平行的两形心轴的惯性积，再加上截面的面积 与形心到该两轴间距离的乘积。 在平面图形对所有互相平行轴的众多惯性矩中，平面图形对形心轴的惯性矩 为最小。 5、转轴公式 任意平面图形（如图Ⅰ-9）对 y 轴和 z 轴的惯性矩和惯性积，可由式（Ⅰ-5） —（Ⅰ-9）求得，若将坐标轴 y , z 绕坐标原点 O 点旋转  角，且以逆时 针转角为正，则新旧坐标轴之间应有如下关系 y1 = y cos + zsin z1 = z cos − ysin 将此关系代入惯性矩及惯性积的定义式，则可得相 应量的新、旧转换关系，即转轴公式 = 2( + ) = 2(83.3+146.6) = 459.8 II z I z z C C C I I I cm 4 cos 2 sin 2 2 2 2 1 1 yz y z y z A y I I I I I I z dA − − − + = =  （Ⅰ-14） cos 2 sin 2 2 2 1 yz y z y z z I I I I I I + − − + = 6、形心主惯性轴、形心主惯性矩 6.1 定义 6.1.1 主惯性轴 主惯性矩

对于任何形状的截面,总可以找到一对特殊的直角坐标轴,使截面对于这 对坐标轴的惯性积等于零。惯性积等于零的二对坐标轴就称为该截面的主惯性 轴,而截面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩 6.1.2形心主惯性轴形心主惯性矩 当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,它们就被称为该截面的形心主 惯性轴,简称形心主轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩 6.2形心主惯性轴的确定 由于任何平面图形对于包括其形心对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积 恒等于零,所以,可根据截面有对称轴的情况,用观察法帮助我们确定平面图形 的形心主惯性轴的位置。 (1)如果平面图形有一根对称轴,则此轴必定是形心主惯性轴,而另一根形 心主惯性轴通过形心,井与此轴垂直。 (2)如果平面图形有两根对称轴,则此两轴都为形心主惯性轴。 (3)如果平面图形有三根或更多根的对称轴,那么,过该图形形心的任何轴 都是形心主惯性轴,而且该平面图形对于其任一形心主惯性轴的惯性矩都相等 需要说明的是,对于没有对称轴的截面,其形心主惯性轴的位置,可以通过 计算来确定,因为截面对它的惯性矩是最大或最小

5 对于任何形状的截面，总可以找到一对特殊的直角坐标轴，使截面对于这一 对坐标轴的惯性积等于零。惯性积等于零的一对坐标轴就称为该截面的主惯性 轴，而截面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。 6.1.2 形心主惯性轴 形心主惯性矩 当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，它们就被称为该截面的形心主 惯性轴，简称形心主轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩。 6.2 形心主惯性轴的确定 由于任何平面图形对于包括其形心对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积 恒等于零，所以，可根据截面有对称轴的情况，用观察法帮助我们确定平面图形 的形心主惯性轴的位置。 (1)如果平面图形有一根对称轴，则此轴必定是形心主惯性轴，而另一根形 心主惯性轴通过形心，井与此轴垂直。 (2)如果平面图形有两根对称轴，则此两轴都为形心主惯性轴。 (3)如果平面图形有三根或更多根的对称轴，那么，过该图形形心的任何轴 都是形心主惯性轴，而且该平面图形对于其任一形心主惯性轴的惯性矩都相等。 需要说明的是，对于没有对称轴的截面，其形心主惯性轴的位置，可以通过 计算来确定，因为截面对它的惯性矩是最大或最小