《数字信号处理 Digital Signal Processing》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 离散傅里叶变换及其快速算法（3-1）离散傅里叶级数及其性质（邹江）

第03章离散傅里叶变换及其快 速算法 邹江 zhujiang@public.wh.hb.cn

第03章 离散傅里叶变换及其快 速算法 邹江 zoujiang@public.wh.hb.cn

内容提要 离散傅里叶变换( Discrete fourier transform,DFT)是时 间函数是离散的,而且频谱函数也是离散的变换 3.1讨论周期序列的傅里叶级数及其性质 3.2导出有限长序列的傅里叶表示——离散傅里叶变换, 并较详细地介绍了离散傅里叶变换的基本性质,其中包括 循环卷积的重要概念。 3.3介绍利用循环卷积计算线性卷积的方法 3.4讨论频率取样理论。 3.5以较大篇幅介绍本章的重点内容——快速傅里叶变 换的时间抽选算法和频率抽选算法及一些细节上的考虑 3.6介绍变换点数为合数时的快速傅里叶变换算法。 3.7介绍快速傅里叶变换算法的应用实例 3.8介绍线性调频Z变换。(参考)

内容提要  离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时 间函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。  3. 1 讨论周期序列的 傅里叶级数及其性质。  3. 2 导出有限长序列的傅里叶表示——离散傅里叶变换， 并较详细地 介绍了离散傅里叶变换的基本性质，其中包括 循环卷积的重要概念。  3. 3 介绍利用循环卷积 计算线性卷积的方法。  3. 4 讨论频率取样理论。  3. 5 以较大篇幅介绍本章的重点内容—— 快速傅里叶变 换的时间抽选算法和频率抽选算法及一些细节上的考虑。  3. 6 介绍变换点数 为合数时的快速傅里叶变换算法。  3. 7 介绍快速傅里叶变换算法的应用实例。  3. 8 介绍线性调频Z变换。（参考）

傅里叶变换的各种形式 连续时间、离散频率的傅里叶变换 对于周期为T的连续时间信号,可以采用傅里叶级数展开: x2(D)=∑ce2 x (te s di 2兀 连续时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的连续时间信号,可以进行傅里叶变换 2兀 F()=x1(01 它在时域和频域都是连续的

傅里叶变换的各种形式  连续时间、离散频率的傅里叶变换 对于周期为T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：  连续时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换： 它在时域和频域都是连续的

离散时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的序列,其傅里叶变换在频域是以2π为周 期的连续函数。 ()=, X(ee 2丌 (en)=∑x(n)em

 离散时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以2π为周 期的连续函数

3.1离散傅里叶级数及其性质 3.1.1离散傅里叶级数ODFS)定义 个周期为N的周期序列x(n)可表示为: x(n)=x(n十kN),k为任意整数 这样的周期序列的Z变换是不收敛的。如果用离散傅里叶 级数表示,则可以讨论其收敛性。 2 用傅里叶级数表示,其基波频率为:用复指数表示: N 第k次谐波为 由于是周期序列,且k次谐波也是周期为N的序列: j-(k+n)n +w n=e

3．1 离散傅里叶级数及其性质 3. 1. 1 离散傅里叶级数(DFS)定义 一个周期为N的周期序列 可表示为： 这样的周期序列的Z变换是不收敛的。如果用离散傅里叶 级数表示，则可以讨论其收敛性。 用傅里叶级数表示，其基波频率为： 用复指数表示： 第k次谐波为： 由于是周期序列，且k次谐波也是周期为N的序列：

因此,对于离散傅里叶级数,只取下标从0到N-1的N个谐 波分量就足以表示原来的信号。这样可把离散傅里叶级 数表示为 F(n)=28(k)e 式中,乘以系数1N是为了下面计算的方便 X(k)为次谐波的系数 将上式两边同乘以并从n=0到N1求和,得到: ∑x(n)=(刘) =∑x(k)e(到) 0 N-1 ∑R()[∑ e(N/(k-r)

因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到N-1的N个谐 波分量就足以表 示原来的信号。这样可把离散傅里叶级 数表示为 式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便； 为k次谐波的系数。 将上式两边同乘以 并从n=0到N-1求和，得到：

由复指数序列的正交性 2丌 F门 n K 0k≠r 所以, r (n)e (到)m=8(r) 得到周期序列的离散傅里叶级数表达式: N-1 (k)=∑x(m)e", 0<k<o N-1 R(n) ∑(k)e <n<

由复指数序列的正交性： 所以， 得到周期序列的离散傅里叶级数表达式：

令网=eˉ阏 则得到周期序列的离散傅里叶级数ODFS)变换对 8(k)=DFS[x()]=∑x(m)W,一∞<k<∞ F(n)=IDF[X(k)]=台 ∑x()W,-∞<n<∞ n和k均为离散变量。如果将n当作时间变量,k当作频率 变量,则第一式表示的是时域到频域的变换,称为DFS的 正变换。第二式表示的是频域到时域的变换,称为DFS的 反变换。 由于 xQ+pN)=∑()8(到)+”-∑()e(斜)+=X(h 0 故【(k是周期为N的离散周期信号。 周期序列的信息可以用它在一个周期中的N个值来代表

令 则得到周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对 n和k均为离散变量。如果将n当作时间变量，k当作频率 变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为DFS的 正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为DFS的 反变换。 由于 故 是周期为N的离散周期信号。 周期序列的信息可以用它在一个周期中的N个值来代表

3.1.2离散傅里叶级数的性质 1.线性 设周期序列x1(n)和x2(n】的周期都为N,且 DFS[x1()]=1(k) bFS[x2(n)1=2(k) 若x(n)=ax1(n)+b2(n) 则有 x3(k)=DFS[ax1(n)+b2(n)]=a81(k)+b82(k 2.周期序列的移位 设DFS[(n)]=X(k)】则 DFS[G(n+m)]=WX()如果m>N,则mm+n2 IDFS[X(k-)]=W·交(n)

3．1．2 离散傅里叶级数的性质 1. 线性 设周期序列 和 的周期都为N，且 若 则有 2．周期序列的移位 设 则 如果m>N，则m=m1+Nm2

3.周期卷积 设x1(n)和x2(n)都是周期为N的周期序列,它们的 DFS系数分别为 N A1(k)= ∑ ,(m)Wn m=0 戏,(k ∑ x2(r)w 令P(k)=81(k)82(k) y(n)=IDFS[x1(k)·x2()]=∑x1(m)2(n-m) m=0 x1(n)兴x2(n) 上式表示的是两个周期序列的卷积,称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积

3．周期卷积 设 和 都是周期为N的周期序列，它们的 DFS系数分别为 令 则 上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积