南京大学：《计算机问题求解》课程教学资源（PPT课件讲稿）矩阵计算

计算机问题求解一论题3-14 矩阵计算 2018年12月20日

计算机问题求解 – 论题3-14 - 矩阵计算 2018年12月20日

矩阵的逆与线性方程组的解 ax1+a12x2+…+arxa=b】 a1+aax+…+ax=b anlx十an2X2+…+AnnXn=bm 一一一一一一一 d11 a12 din a21 a22 d2n .. .: ani an2 ann Xn or,equivalently,letting A =(a),x=(xi),and b =(b:).as Ax =b. If A is nonsingular,it possesses an inverse A,and =AΓb

矩阵的逆与线性方程组的解

问题1： 为什么通常不直接用求 逆矩阵的办法来解线性 方程组？

逆矩阵存在的条件 A square matrix has full rank if and only if it is nonsingular A matrix A has full column rank if and only if it does not have a null vector. A square matrix A is singular if and only if it has a null vector. An nxnmatrix A is singular if and only if det(A)=0. 这是什么意思？

逆矩阵存在的条件 这是什么意思？

问题2： 如何计算非奇异矩阵的逆？ 1:矩阵A的逆=A的伴随矩阵/行列式A的值 2:矩阵A的逆：对(AE)进行行初等变换得到(EA1)

1：矩阵A的逆=A的伴随矩阵/行列式A的值 2：矩阵A的逆：对(A|E)进行行初等变换得到(E|A-1 )

221 例：求3阶方阵A= 315 的逆矩阵。 323 解：|A|=1,M1=-7,M2=-6,M3=3, M21=4,M2=3,M3=-2, 问题3.1：求 M31=9,M2=7,M3=-4, N阶方阵的逆， 时间复杂度多 则 Au An A3 A-IA-A= 少？ IAI An A2 A3 As Mu -M2 M3 -7 -4 9 -M2 Mn -M2 6 3 -7 M3 -M3 M33 3 2 -4

问题3.1：求 N阶方阵的逆， 时间复杂度多 少？

12 3 例1设A= 22 1,求A1. 343 问题3.1：求 123100 N阶方阵的逆， 解 (AE)= 221010 时间复杂度多 少？ 343001 2-2 53-3r1

…… 问题3.1：求 N阶方阵的逆， 时间复杂度多 少？

高斯消元法 1 0 0 1 过程中可能 21 0 Y= 3 出现的现象！ 3 4 1 5 2 问题4： 1 2 0 1 4 X 三 3 三角阵会给解 0 0 3 6 线性方程组带 来什么便利？

      =       5 3 1 3 4 1 2 1 0 1 0 0 X       =       − 6 3 1 0 0 3 0 1 4 2 1 2 X 高斯消元法 过程中可能 出现的现象！

问题5： 三角阵确实会极大简化方程求解，但是 多数情况下，我们不会遇到三角阵。 Ax =b 怎么办？

怎么办？

问题⑥； Ax=b 0 你能否借助右边 PAx Pb 的图解释一下用 PA=LU→ LUP分解方法解 LUx Pb 线性方程组的基 0 Ly=Pb 本思想？这个方 0 法的关健在哪里？ Ux=y