《高等数学》课程教学资源（教案讲义，打印版）第十二章 无穷级数 第二节 常数项级数的审敛法

高等数学教案 第十二章无穷级数 第二节 常数项级数的审敛法 教学内容：正项级数收敛性的比较判别法： P级数的收敛与发散的条件： 交错级数的莱布尼茨判别法： 任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念 教学目标：掌握P级数的收敛与发散的条件：掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判 别法，会用根值判别法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法：了解任意项级数绝对收敛与条 件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系 教学重点：正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；交错级数的莱布尼茨 判别法 教学难点：比较判别法的极限形式；交错级数的莱布尼茨判别法：任意项级数的绝对收敛 与条件收敛 教学方法：讲授法 作业：P2681,2,4,5 教学过程： 一、正项级数及其审敛法 正项级数：各项都是正数或零的级数称为正项级数， 定理1正项级数∑4，收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界 n=l 定理2比较审敛法)设∑4n和∑yn都是正项级数，且u.≤y,(n=1,2,）.若级数 = 1= ，收敛则领数24，收敛：反之，若级数2山，发散侧级数2，发散 0 =1 n=1 n=1 n=1 证设级数o∑y,收敛于和，则级数∑山n的部分和 n=】 n=1 Sn=41+l2+…4n≤y,+y2+…+yn≤o(n=1,2,) 0 即部分和数列{s}有界，由定理1知级数∑4n收敛. n=1 反之，设级数2，发散，则级数∑，必发散因为若级数 n=1 n=1 乞，收敛，由上已证明的结论，将有级数24，也收敛，与假设矛盾。 打兰

高等数学教案 第十二章无穷级数 推论设2，和2，都是正项级数，如果级数y,收敛，且存在自然数N,使当 n=1 7= = n≥N时有u,≤kw,60成立，则级数24，收敛：如果级数2，发散，且当n2N时有 =1 n=1 u≥kwk>0)成立，则级数∑4n发散. n=1 例1讨论p-级数 n=i nP 的收敛性，其中常数p>0. 解设s1.这时≥，而调和级数上发散，由比较审敛法知，当p1.此时有 六-sn1a2 对打歌三。-共能分有 (n+)p 因为，=iml-a1 (n+10阿]=l. 所以强业。山收意从可限新北按半微法新论1可克摄货变上 当p>1时收敛， 综上所述，P-级数2当p1时收敛、当S1时发散 n=1 hp 例2证明级数 1 是发散的 =1√(n+l) 1 1 证因为 n(n+1)/(n+1)2 n+1' 而级数1=11 mn+123 …十1十…是发散的， n+1

高等数学教案 第十二章无穷级数 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的， 定理3（比较审敛法的极限形式） 设立4，和2，都是正项级数 n=1 h=1 (1)如果lim4=l0sk+o,且级数∑yn收敛，则级数∑n收敛： 0 n→oyn n=1 n=1 2如果lim=1>0或im=+o,且级数2yn发散，则级数∑n发散。 n-→oVn n-→mVn 7= 7=1 例3判别级数∑sim上的收敛性. n=1 n 解因为m士 n=山，而级数1发散 1n 根据比较审敛法的极限形式，级数∑sm上发散 i=1 n 定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）设∑4，为正项级数，如果 n=1 lim n=p, n→0t4n 则当px1时级数收敛；当心1（或1im4l=D)时级数发散；当p=1时级数可能收敛也 n→04n 可能发散， 例4证明级数1++1+1 +i1212.3+…+1-2,3…m-0 十· 是收敛的 解因为iml=lim 23…n-0=lim1=0<1, n→%4nn-→w12.3.…nnmn 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例5判别级数+3+：23+++…的收敛性 ×10102103 10n 解因为ml=im+!,10=imn+l=o, n-→04nn→010m+1n!n→010 根据比值审敛法可知所给级数发散 例6判别级数】 22 1 的收敛性

高等数学教案 第十二章无穷级数 解iml=lim (2n-02n=1. n→04mn-∞(2n+1)(2n+2) 这时1，比值审敛法失效，必须用其它方法来判别级数的收敛性。 因为 1 21(或1imn=+o)时级数发散；当仁1时级数可能收敛也 n-→0 可能发散 1 例8证明级数1+2+ 3+…+1 +·是收敛的 并估计以级数的部分和5n近似代替和5所产生的误差. 解因为lim义4，=lim =lim1=0, n-→Vn" 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛 以这级数的部分和5n近似代替和5所产生的误差为 lrn上 1 1 a+l-+0+2y*7+0n+3*s+… 1 1 1 n+）t0+1)n2+n+*s+…+ 1 n(n+1)" 例6判定级数22+二少的收敛性 白2n 解因为 m,=im22+(←y=分 7→0 H-→00L 所以，根据根值审敛法知所给级数收敛， 定理6 (极限审敛法) 设艺un为正项级数。 (1)如果1im4n=>0或1imn4n=+o),则级数∑4n发散； 7→00 n-→0 n=l

高等数学教案 第十二章无穷级数 2)如果p>1,而limn nPu=1(0≤10 月世 例如， ∑(--1是交错级数，但2(-1y-1l-COSHE不是交错级数。 7= 定理7（莱布尼茨定理） 如果交错级数∑(-I)-4n满足条件： n=1 (1)4n≥4n+1(n=1,2,3,…) 2m4。=0, 则级数收敛，且其和s≤u,其余项rn的绝对值Irn≤un+1 证：设前n项部分和为sn 由52n=(u1-u2+u3-ua+·+(u2n1-u2n,及 52m=U1-(u2-Ug)+(u4-Us)H··+(u2m-2-U2m-1-u2n 看出数列{52m}单调增加且有界(s2n<u1,所以收敛 设52n→s(n→00，则也有52n+1=52n+u2n+1→s(n→00，所以5n→5n→00).从而级数是收 敛的，且5n<u1 因为|rn=Un+1-Un+2+也是收敛的交错级数，所以|rn≤un+:

高等数学教案 第十二章无穷级数 例9证明级数∑(-1)1口收敛，并估计和及余项， n=l n 证这是一个交错级数.因为此级数满足 1、1 (1)4m= nn+l =41n=1,2,k(2)lim u=lim1=0, n-→0 n-→07 由莱布尼茨定理，级数是收敛的，且其和s=1,余项，S山1= n+l 三、绝对收敛与条件收敛： 若级数∑u,收敛，则称级数∑n绝对收敛；若级数24n收敛，而级数∑u,发散 =1 7=1 = =1 则称级∑4n条件收敛. =1 例10 级数(-y-1号是绝对收敛的，而级数∑(-1-11是条件收敛的。 n=1 h2 n=1 n 定理7如果级数∑，绝对收敛，则级数∑山，必定收敛。 n=1 n=1 值得注意的问题：如果级数以发散，我们不能断定级数2，也发散。但是，如果我们 0 n=1 n=1 用比值法或根值法判定级数 2M,发散则我们可以断定级数2山，必定发散这是因为， =1 n=1 o 此时u不趋向于零，从而u也不趋向于零，因此级数∑山n也是发散的. n= 例11判别级数2s血0的收敛性 -1n2 、解因为1Sn长。，而级数∑之是收敛的， n 所以级数2i血n0也收敛从而级数s血0绝对收敛 n=1 n2 n1n2 例1卫判别级数三-r2+分》”的收敛性 n=】 解邮，0+r,有mm+以>1， n→∞ 可知m4,0,因此级数-少2+}》y发放 =