《高等数学》课程教学资源（教案讲义，打印版）第十二章 无穷级数 第七节 傅里叶级数

高等数学教案 第十二章无穷级数 第七节傅里叶级数 教学内容：三角函数系的正交性，函数展开成傅里叶级数，正弦级数和余弦级数 教学目标：了解三角函数系的正交性，掌握函数展开成傅里叶级数的方法 教学重点：函数展开成傅里叶级数 教学难点：傅里叶级数的狄利克雷定理 教学方法：讲授法 作业：P3151,2,3,4,5,6 教学过程： 一、三角级数三角函数系的正交性 三角级数：级数 +a,om+A血m = 称为三角级数，其中ao,an,bn(n=1,2,·)都是常数. 三角函数系： 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,..,cos nx,sin nx,... 三角函数系的正交性：三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间一石，对上的积 分等于零，即 cosnxdx=0 (n=1,2,). fsin nd=0 ( sin krcos(.. sin kxsin nx-0() oscos0.) 三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间一石对上的积分不等于零，即 Pk=2π， [os2mdk=an12小 Tsin2xdk=元n=1,2, 二、函数展开成傅里叶级数 -1

高等数学教案 第十二章无穷级数 问题：设fx)是周期为2π的周期函数，且能展开成三角级数： f=g+∑a cos+sin k) 那么系数ao,a1,b1,·与函数fx之间存在着怎样的关系？ 假定三角级数可逐项积分，则 ,eeos=,受cosnd+2aeoskrcosak+h,snkcosnd, k=1 类似地T,f))sind=b,r。 傅里叶系数： a-fcy. ()cosm )sin nxd 系数ao,a1,b1,…叫做函数fx)的傅里叶系数 傅里叶级数：三角级数 2+2 .o+，么sam 称为傅里叶级数，其中ao,a1,b1,·是傅里叶系数. 问题：一个定义在(-0，+∞)上周期为2π的函数x),如果它在一个周期上可积，则 一定可以作出孔x)的傅里叶级数.然而，函数x)的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛， 它是否一定收敛于函数fx?一般来说，这两个问题的答案都不是肯定的， 定理（收敛定理，狄利克雷充分条件）设fx是周期为2π的周期函数，如果它满足： 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，在一个周期内至多只有有限个极值点，则 x的傅里叶级数收敛，并且 当x是fx的连续点时，级数收敛于x; 当x是x)的间断点时，级数收敛于 [f0x-0)+f(c+0] 例1设x)是周期为2π的周期函数，它在[-π而上的表达式为 1-π≤x<0 f)=1 0≤x<π 将x)展开成傅里叶级数 解所给函数满足收敛定理的条件，它在点=kπ(k=0,±1，±2，··)处不连续，在其它 -2

高等数学教案 第十二章无穷级数 点处连续，从而由收敛定理知道x)的傅里叶级数收敛，并且当x=kπ时收敛于 2x-0+fx+01-2-1+0=0, 当≠kπ时级数收敛于fx. 傅里叶系数计算如下： ()cosmdcosmco(.. a,=是，sin-2-smm+号snh =re0smpn+-cosm匹16=l-cosn元-COS+ nπ 4 n=13,5, nπ 0n=2,4,6,… 于是x)的傅里叶级数展开式为 f)=兰snx+号sn3x++ π sin(2-x （-00<X<+0;X≠0，±乃±2元，· 例2设x)是周期为2π的周期函数，它在[-石而上的表达式为 Jx-π≤x<0 f6)-00≤x<π 将x)展开成傅里叶级数. 解所给函数满足收敛定理的条件，它在点=(2k+1)π(k=0,±1，±2，··)处不连续，因此， fx)的傅里叶级数在=(2k+1)π处收敛于 2-0+f+01F20-x=-受 在连续点x(2k+1)d处级数收敛于fx) 傅里叶系数计算如下： =2fw=是=-受 a,厂osm-上oh-a,g:a0-ow 2n=l,3,5,… =n2 0n=2,4,6, h()sinsin ndcomsincosm n n2 n .3

高等数学教案 第十二章无穷级数 =)+ (n=1,2,. n fx)的傅里叶级数展开式为 fw=晋+(2cosx+sim)2m2x+(os3x+5n3刘 4 32π 5字元cos5r+写in5刘)-…（←<切；x对元士3元…小 4in 4x+(2 周期延拓：设孔x)只在[-π河上有定义，我们可以在[-π或(-π丙外补充函数f孔x)的定义， 使它拓广成周期为2π的周期函数Fx,在(-πd内，Fx)=x). 例3将函数 f(x)= -π≤x<0 0≤x≤π 展开成傅里叶级数， 解所给函数在区间-π才上满足收敛定理的条件，并且拓广为周期函数时，它在每一 点x处都连续，因此拓广的周期函数的傅里叶级数在一石才上收敛于孔x) 傅里叶系数为： a=元「fk=元（←+x=元； a,=,f)Dcosnxd-=,（←))cosnxdx+了xcosnxds 4 n2 n=l,3,5,… n=2,4,6,… )sin xd()sin nds+xsin nd0(.. 于是f孔x)的傅里叶级数展开式为 f0w)=受-是（cosx+cos3x+京cos5x+…)儿Ex≤对 三、正弦级数和余弦级数 当f孔x)为奇函数时，f孔x)cos nx是奇函数，f孔<)sin nx是偶函数，故傅里叶系数为 0n=0(n=0,1,2,·, 6,=是fsnk1,23 因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 n=1 当f孔x)为偶函数时，f孔x)cos nx是偶函数，f孔x)sin nx是奇函数，故傅里叶系数为 -4-

高等数学教案 第十二章无穷级数 a,-2 ()cosm-a123力 bn=0(n=1,2, 因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数 例4设x)是周期为2π的周期函数，它在[-π上的表达式为fx)=x.将fx)展开成傅 里叶级数， 解首先，所给函数满足收敛定理的条件，它在点=(2k+1)k=0,±1，±2，··)不连续 因此f孔x)的傅里叶级数在函数的连续点#(2k+1)π收敛于f孔x),在点x=(2k+1)k=0,±1，±2，·) 收敛于 2fu-0+f-π-01=x+(-xl0. 其次，若不计=(2k+1)k=0,±1，±2，)，则f孔x)是周期为2π的奇函数.于是 0n=0(n=0,1,2,,而 么，-2sn=子xsnm 5=2m子(m23 π n n fx)的傅里叶级数展开式为 f闭=24sinx-2m2r+兮sn3x-+(-yn1Lsnm+ (-0<X<+0,#±石±3π，…） 例5将周期函数0)=E小si血展开成傅里叶级数，其中E是正的常数 解所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此u()的傅里叶级数处处 收敛于u(t) 因为u(t)是周期为2π的偶函数，所以bm=0(n=1,2,·,而 a,-是40 co-2Esn吃o [sin(n+-sin(- cos(n+)t cos(n-1)t n 2 4E -(n=0,1,2, (4n2-1) 所以u(t)的傅里叶级数展开式为 -5-

高等数学教案 第十二章无穷级数 0=4E1 π24n2-1 cosnt)(-c<t<+0). 奇延拓与偶延拓：设函数孔x)定义在区间0，河上并且满足收敛定理的条件，我们在开 区间(-π，0)内补充函数fx的定义，得到定义在(-π，对上的函数Fx,使它在(-π，d上成为奇 函数（偶函数）.按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓（偶延拓）.限制在(O,才上，有 F(x)=f(x). 例6将函数fx)=+1(0≤x≤d分别展开成正弦级数和余弦级数. 解先求正弦级数.为此对函数x进行奇延拓 6,=是∫fs血m=是x+snm-2-co+n匹-o16 n n2 n -Jo 2.π+2 n=1,3,5, =2-πcosn--cosn) πn nπ -2 n=2,4,6,… 函数的正弦级数展开式为 x+1-2[a+2到smx-sm2x+号r+2sm3x-吾sm4+…]0c对 在端点=0及=π处，级数的和显然为零，它不代表原来函数f孔x)的值. 再求余弦级数.为此对孔x)进行偶延拓. a,-2 cod=是x+cosk=2-nm+com_血16 n n 0 n=2,4,6,… (cosnπ-)= 2 4 n2元 n=1,3,5,… 是x+h-品号+=+2 函数的余弦级数展开式为 x+1=受+l-（osx+7os3r+3cos5r+…）0sx5动. π -6-