《高等数学》课程教学资源（教案讲义，打印版）第十章 重积分 第二节 二重积分的计算法

高等数学教案 第十章重积分 第二节二重积分的计算法 教学内容：二重积分在直角坐标系中的计算： 二重积分在极坐标系中的计算 教学目标：理解并掌握直角坐标系中的二重积分的计算方法 理解并掌握极坐标系中的二重积分的计算方法 教学重点：直角坐标系与极坐标系中的的二重积分的计算方法 教学难点：极坐标系的合理应用； 合理选择累次积分次序 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一利用直角坐标计算二重积分 X-型区域：D:p(x)≤心p(x),区b Y一型区域：D：(x)≤(x),c≤心d, 混合型区域： 设f(x)≥0，D上{(x)9(x)≤s(x),还≤ 此时二重积分 f(x,ydo在几何上表示以曲面=(x,)为顶，以区域D为底的曲顶 柱体的体积， 对于场∈[a,b,曲顶柱体在=的截面面积为以区间[()，()]为底、以曲线 =。力为曲边的自边稀彩所以这能面的面积为，)一。 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为 V=Axd本=fx, 即 广rcwa=直8fx4. 可记为 fre.yda-[d .d 类似地，如果区域D为y-型区域：D:(x)≤s(x),c心心d, 则有 rx.y- 例1.计算川x)o,其中D是由直线=1、=2及=x所围成的闭区域。 1

高等数学教案 第十章重积分 解：画出区域D 方法一. 可把D看成是X-型区域：1≤2,1≤sx.于是 ffodo=fIS xdyus -foxd-f 注积分还可以写底小o-∫4∫-了h了 解法2.也可把D看成是∥-型区域：1≤2，≤2.于是 oua=w-心=了e分wt2- 例2.计算1+x2-y严d6,其中D是由直线1、1及=x所围成的闭区域 解 画出区域D可把D看成是水一型区域：-1≤≤1，区1.于是 小i+-ydo=+-y=},0+x2-y2=},0f- =-子x3-0=7 也可D看成是？-型区域：-1≤s1,-1≤xKy.于是 Wi+2-y严do=,4+x2-yk 例3计算川o,其中D是由直线=x-2及抛物线广=x所围成的闭区域。 解积分区域可以表示为DD+D, 其中D:0≤x≤l,-VF≤y≤F;D2:1≤x≤4,2≤y≤V.于是 小ouo=aw+了Gd 积分区域也可以表示为D-1≤2，y≤≤件2.于是 小oo==号g2w0心+2-w +号+2= 讨论积分次序的选择 例4求两个底圆半径都等于ρ的直交圆柱面所围成的立体的体积 解设这两个圆柱面的方程分别为x+=p2及+z=p 利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积飞，然后再乘以8就行 2

高等数学教案 第十章重积分 了 第一卦限部分是以={(x)|0ss√R2-x2,0≤Sp为底，以z=√R2-x2顶的曲顶柱体 于是 V-8JJVR2-x2do -8f dR-dy-8LRd =8R2-r2=R 二、利用极坐标计算二重积分 有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用 极坐标变量P、日表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 Jf(x.yda D 按二重积分的定义 fx,yMo=lim∑f5,n)△o D 20 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小 闭区域，小闭区域的面积为： Ao.-J(P+AP)-A0-TPi-A0-](2p.+AP)Ap A0 -et(PtAPAPA0=PAPAO. 2 其中下，表示相邻两圆弧的半径的平均值 在△o内取点(p,8),设其直角坐标为(5,7)， 则有5=pcos0,7,=p,sina 于是m上f传4a,=m上(cs可，万sin8, 0 i=l 元0 即 (-f(pcos0.psindpd0. 若积分区域D可表示为p:(≤p≤p(),B, 则 rpos&,psmaa0-d0efocosapsn0pn, 讨论：区域如下图，如何确定积分限？ 3

高等数学教案 第十章重积分 Jfpcos4,psn8lpdnt0=dofpcos8,psin9pdp. (0.psindesip 例5.计算川e2-”dd,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域 解在极坐标系中，闭区域D可表示为0ssa,0≤0≤2π，于是 Se-ddy-Sfe-pdipdo-pdplo-edo -0-e)do-z(-e) 注：此处积分 je2-严dkd也常写成e-r-dk x2+Jy2≤a 利用 小e-y=al-e计算广义积分∫。er: x2+y2≤a2 设A={(x月x+≤R,20,20,D={(x月+y≤2R,20,20}, g{(xy月0≤R0≤sR. 显然Ac之B.由于e->0,从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 je-yrd<小e-y<J∬er-yd D, 因为 Sfe--rddy=ferd.erdy=(edy. 又应用上面已得的结果有 e-ya=晋l-eR).ef-ydd=平l-e2)， D 于是上面的不等式可写成平l-e)<(eP<牙-e2R) 令一+%，上式两端趋于同一极限至，从而。e= 例6求球体x+y+艺≤4a被圆柱面x+y=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分)立体的 体积. 解由对称性，立体体积为第一卦限部分的四倍， V=4[V4a2-x2-y2dxdy, D

高等数学教案 第十章重积分 其中D为半圆周y=√2ax-x2及x轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表示为0≤p2ac0s0,0≤0≤7 于是 Vpddo pdp 号a20-sm300=号a号3