北京大学：《离散数学》离散数学之二《代数结构与组合数学》代数结构 Algebraic Structure 第15章 代数系统（1/2）

代数结构 Algebraic structure 代数系统半群与独异点群 环与域格与布尔代数

1 代数结构 Algebraic Structure 代数系统 半群与独异点 群 环与域 格与布尔代数

第十五章代数系统 半群与群环域|格与布尔代数 子集 同 分类 子代数种 的 ∑代数 成分:载体及运算 笛卡尔积积代数」 推广公理:运算性质 生 等价关系商代数 类型的 代数系统的构成 映射 新代数系统 代数系统的 同态与同构 代数系统间关系

2 第十五章 代数系统 代数系统的构成 成分：载体及运算 公理：运算性质 积代数 商代数 子集 等价关系 子代数 新代数系统 同 类 型 的 同 种 的 代数系统的 同态与同构 代数系统间关系 Σ代数 推广 分类 半群与群 环域 格与布尔代数 映射 笛卡尔积 产 生

15.1二元运算及其性质 ■n元运算的定义及实例 n元运算的表示 ■二元运算的算律 二元运算的特异元素

3 15.1 二元运算及其性质 „ n元运算的定义及实例 „ n元运算的表示 „ 二元运算的算律 „ 二元运算的特异元素

n元运算的定义 定义设A为集合,函数fAX4-)A称为A上的二 元运算 定义设4为集合,函数f:A-)4称为4上的n元 运算 n=0,0元运算,f-A n=1,一元运算,f:A-,A 封闭性: 任何A中元素都可参与运算 运算结果属于A

4 n元运算的定义 定义 设A为集合，函数 f:A×A→A称为A上的二 元运算 定义 设A为集合，函数 f:An→A称为A上的 n元 运算 n=0, 0元运算， f:→A n=1, 一元运算，f:A→A 封闭性： 任何A中元素都可参与运算 运算结果属于A

n元运算的实例 集合 二元运算一元运算0元运算 Z,O,R, C , 0,1 M(R) 。X E P(B) ∪,∩,-, OB R(B B R(B):B上的关系集合

5 n元运算的实例 集合 二元运算 一元运算 0元运算 Z ,Q, R, C +, × − 0, 1 Mn(R) +, × − θ, E P(B) ∪,∩,−,⊕∼ ∅, B R(B) ∘ IB AA ∘ IA R(B): B上的关系集合

n元运算的表示 算符记号:°,*,·,口,◇,△等, 表达式: 19~2,··9n x 表示方法: 解析表达式 运算表(适用于有穷集)

6 n元运算的表示 算符记号： ∘ ，∗，•，□，◊，△等， 表达式： ∘ (x1, x2, …, xn) = y x1∘ x2 = y △x = y 表示方法： 解析表达式 运算表（适用于有穷集）

n元运算的表示实例 表达式:°是实数集R上的二元运算 xoy=x+y-2xy 运算表 A=P({a,砂},A上的二元运算⊕,一元运算~ {a{b}{a砂 xX t}{b{,b} 8a,bj 四a⑧{b{b n}{b} {b}{b}{砂{ {a砂{b}{b}{} La,b3 0

7 ∅ {a} {b} {a,b} {a} ∅ {a,b} {b} {b} {a,b} ∅ {a} {a,b} {b} {a} ∅ ∅ {a} {b} {a,b} ⊕ ∅ {a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a} ∅ ∅ {a} {b} {a,b} x ∼x n元运算的表示实例 „ 表达式：∘是实数集R上的二元运算 x∘y = x+y−2xy „ 运算表 A=P({a,b}), A上的二元运算⊕，一元运算∼

运算表的一般形式(用于有穷集) 2 a△a, △a1 n 2 △a2 n

8 a1∘a1 a1∘a2 … a1∘an a2∘a1 a2∘a2 … a2∘an …… an∘a1 an∘a2 … an∘an a1 a2 an a1 a2 … a ∘ n ∆a1 ∆a2 ∆an a1 a2 an ∆ai ai 运算表的一般形式（用于有穷集）

二元运算的算律 ■涉及一个二元运算的算律 交换 结合—广义结 幂等 消去 ■涉及两个不同的二元运算 分配—广义分配 吸收(以交换为前提)

9 二元运算的算律 „ 涉及一个二元运算的算律 交换 结合——广义结合 幂等 消去 „ 涉及两个不同的二元运算 分配——广义分配 吸收（以交换为前提）

算律的定义 设°,为A上的二元运算 交换律Va,b∈A,ab=boa 结合律anb,c∈A,(ab)°c=a(boc) 幂等律VaeA, °=c 分配律a,b,c∈A °(b*c)=(b)*(a°c)(bc)°a=(ba)2(ca) 吸收律设*可交换Vn,b∈A, °(*b)=a,a2(a°b)=a 推广:结合律、幂等律、分配律推广到有限项

10 算律的定义 设 ∘,* 为A上的二元运算 交换律 ∀a,b ∈ A, a ∘b=b ∘ a 结合律 ∀a,b,c ∈ A, ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c) 幂等律 ∀ a ∈ A, a ∘a=a 分配律 ∀a,b,c ∈ A, a ∘ ( b * c)=( a ∘ b)*( a ∘ c) ( b * c ) ∘ a=( b ∘ a)*( c ∘ a) 吸收律 设 ∘ , ∗可交换 ∀a,b ∈ A, a ∘ ( a * b)= a，a*( a ∘ b)= a 推广：结合律、幂等律、分配律推广到有限项