湖南大学：《工程数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一查 行列式

郭一 行列式

§1二元一次方程组的求解 二元一次方程组的求解公式 a1x1+a12x2=b1 考虑 (1.1) a21x1+a2x2=b2 (a1a2-a12a21)x1=b1a2-b 得 (a1a2-a12a21)x2=b2a1-b1a21

§1 二元一次方程组的求解 一、二元一次方程组的求解公式 得 (a11a22－a12a21) x1 = b1 a22－b2 a12 (a11a22－a12a21) x2 = b2 a11－b1 a21 考虑 a11 x1+ a12 x2 = b1 a21 x1+ a22 x2 = b2 (1.1)

当a1a2-a12a21≠0时,得唯一解 b,a22-b b xX1 21(1.2) 1022 12021 1221

当 a11 a22－a12 a21  0时， , 11 22 12 21 1 22 2 12 1 a a a a b a b a x − − = 11 22 12 21 2 11 1 21 2 a a a a b a b a x − − = (1.2) 得唯一解

二、二阶行列式的概念 定义1.1设有数表 12 (13) 22 称数a1a2-a12a21为对应于数表(13)的二阶行列式, 记为: 主对角线 副对角线 122a12a 2 (+)

二、二阶行列式的概念 设有数表 a11 称数a11 a22－a12 a21为对应于数表(1.3)的二阶行列式， 记为： (1.3) 21 22 11 12 a a a a = 副对角线 主对角线 定义1.1 a12 a21 a22 a11a22 − a12a21 (＋) (－)

b b 11 12 12 记D= ≠0时 1122 12021 22 b2an-b,a D= 6 a 11022 12021 12 22 b 212 22 D 12 方程组(1.1)的解可以表示为: D、2D—克莱姆( Gramer)法则 D

记 D1 = D2 = D 方程组(1.1)的解可以表示为： , 1 1 D D x = D D x 2 2 = ——克莱姆(Gramer)法则 (1.4) , 11 22 12 21 1 22 2 12 1 a a a a b a b a x − − = 11 22 12 21 2 11 1 21 2 a a a a b a b a x − − = = , b1 a22 −b2 a12 = , b1 a11 −b2 a12 = 21 22 11 12 a a a a  0时 22 12 a a 2 1 b b 21 11 a a 2 1 b b

§2n阶行列式 、三阶行列式 定义2.1设有数表 12 21 22 23 32 3

一、三阶行列式 设有数表 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a (2.1) §2 n阶行列式 定义2.1

引进记号: T2 13 D 23 a+asaad 223 3 十a1 13021032 1302203 2021033 112332 称为对应于数表(21)的三阶行列式

引进记号： 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a (+) (+) (+) (－) (－) (－) = + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 称为对应于数表(2.1)的三阶行列式 D = a11a22a33

例如: 3M 41-2=2×1×3+(-3)×(-2)×5+1×4×1 1×1×5-(-3)×4×3-2×(-2)×1 =75

例 如： 5 1 3 4 1 2 2 3 1 − − = −115 = 75 213 + (−3)(−2)5 +141 −(−3)43－2(−2)1

易证:对于线性方程组 a1x1+a12x2+a13x3=b 21x1+a21x2+a23x3=b a31x1+a2x2+a3x3=b3 12 13 当D=(21a2a23≠0时 31 32a 33

易证： 对于线性方程组 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + = + + = + + = (2.2) 当 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D =  0时

方程组有唯一解,记 b 13 13 12 D 22 b 32 则方程组2.2)的解为: D D X1 X D D x3 D 自证

方程组有唯一解，记 则方程组(2.2)的解为： , 1 1 D D x = , 2 2 D D x = D D x 3 3 = 自证 , 32 33 22 23 12 13 1 a a a a a a D = 3 2 1 b b b , 31 33 21 23 11 13 2 a a a a a a D = 3 2 1 b b b 31 32 21 22 11 12 3 a a a a a a D = 3 2 1 b b b