曲阜师范大学：物联网工程专业《复变函数与积分变换》课程教学大纲

“复变函数与积分变换”课程教学大纲教研室主任：李刚执笔人：刘中强一、课程基本信息开课单位：物理工程学院课程名称：复变函数与积分变换课程编号：072203英文名称：ComplexFunctionsandIntegralTransformation课程类型：专业基础课总学时：54理论学时：54实验学时：0学分：3开设专业：电子信息工程通信工程物联网工程先修课程：高等数学1（072101）高等数学2（072102）二、课程任务目标（一）课程任务复变函数与积分变换是高等工科院校有关专业的专业基础必修课程。本课程的任务是通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。（二）课程目标在学完本课程之后，学生能够：1．掌握复变函数与积分变换的基本理论：复变解析函数理论；复变函数的级数理论、积分理论及留数理论：付氏变换与拉氏变换理论。2.灵活应用数学物理及工程技术中常用的数学方法：应用留数计算定积分；运用傅氏变换求频谱函数；应用傅氏变换或拉氏变换求解微积分方程。三、教学内容和要求（一）理论教学的内容及要求（本项编写要求：以基本内容为主线，对各知识点分按“了解”、“理解”、“掌握”三个层次提出要求，并说明教学重点及难点）第一章复数与复变函数第一节复数

“复变函数与积分变换”课程教学大纲 教研室主任： 李刚 执笔人：刘中强 一、课程基本信息 开课单位：物理工程学院 课程名称：复变函数与积分变换 课程编号：072203 英文名称：Complex Functions and Integral Transformation 课程类型：专业基础课 总 学 时： 54 理论学时：54 实验学时：0 学 分： 3 开设专业：电子信息工程 通信工程 物联网工程 先修课程：高等数学 1（072101） 高等数学 2（072102） 二、课程任务目标 （一）课程任务 复变函数与积分变换是高等工科院校有关专业的专业基础必修课程。本课程的任务是通过本课 程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步 扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 （二）课程目标 在学完本课程之后，学生能够： 1. 掌握复变函数与积分变换的基本理论：复变解析函数理论；复变函数的级数理论、积分理论 及留数理论；付氏变换与拉氏变换理论。 2. 灵活应用数学物理及工程技术中常用的数学方法：应用留数计算定积分；运用傅氏变换求频 谱函数；应用傅氏变换或拉氏变换求解微积分方程。 三、教学内容和要求 （一）理论教学的内容及要求 （本项编写要求：以基本内容为主线，对各知识点分按“了解”、“理解”、“掌握”三个层次提 出要求，并说明教学重点及难点） 第一章 复数与复变函数 第一节 复数

1.掌握复数的各种表示法（代数表示，指数表示与三角表示），乘积与商的模与幅角定理，复数形式的代数方程与平面几何图形。第二节复数的乘幂与方根1.掌握复数的四则运算及复数的乘幂与方根。第三节平面点集1.了解复球面，无穷远点，扩充复平面的概念；2.理解区域，简单（闭）曲线，单连通域与多连通域的概念；第四节复变函数1.理解复变函数与映射的概念；第五节初等函数1.了解指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的定义及其主要性质。重点：复变函数的概念及其几何意义。难点：初等函数中的多值函数。深度和广度：牢固掌握复数的各种表示方法及其运算，理解复变函数的概念。第二章导数第一节复变函数的极限1.掌握复变函数的极限的运算法则与性质及其与实变函数极限间的关系。第二节复变函数的连续性1.掌握复变函数的连续性的运算法则与性质及其与实变函数连续性间的关系。第三节导数1.理解复变函数的导数的概念第四节解析函数1.了解初等函数的解析性；2.理解复变函数解析的概念，掌握复变函数解析的充分必要条件。第五节调和函数1.了解调和函数与解析函数的关系：2.掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。重点：解析函数的概念；函数解析的充要条件；解析函数与调和函数的关系；初等函数的解析性。难点：函数解析的充要条件的证明。深度和广度：了解复变函数的极限、连续和导数的概念，理解复变函数解析的概念，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法

1. 掌握复数的各种表示法（代数表示，指数表示与三角表示），乘积与商的模与幅角定理，复数 形式的代数方程与平面几何图形。 第二节 复数的乘幂与方根 1. 掌握复数的四则运算及复数的乘幂与方根。 第三节 平面点集 1. 了解复球面，无穷远点，扩充复平面的概念； 2. 理解区域，简单（闭）曲线，单连通域与多连通域的概念； 第四节 复变函数 1. 理解复变函数与映射的概念； 第五节 初等函数 1. 了解指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的定义及其主要性质。 重点：复变函数的概念及其几何意义。 难点：初等函数中的多值函数。 深度和广度：牢固掌握复数的各种表示方法及其运算，理解复变函数的概念。 第二章 导数 第一节 复变函数的极限 1. 掌握复变函数的极限的运算法则与性质及其与实变函数极限间的关系。 第二节 复变函数的连续性 1. 掌握复变函数的连续性的运算法则与性质及其与实变函数连续性间的关系。 第三节 导数 1. 理解复变函数的导数的概念 第四节 解析函数 1. 了解初等函数的解析性； 2. 理解复变函数解析的概念，掌握复变函数解析的充分必要条件。 第五节 调和函数 1. 了解调和函数与解析函数的关系； 2. 掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。 重点：解析函数的概念；函数解析的充要条件；解析函数与调和函数的关系；初等函数的解析性。 难点：函数解析的充要条件的证明。 深度和广度：了解复变函数的极限、连续和导数的概念，理解复变函数解析的概念，掌握从解析 函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法

第三章积分第一节、积分的概念、性质、计算1.理解复变函数积分的定义，性质2.了解求复变函数的积分的计算方法。第二节柯西定理及其推广1.理解柯西积分定理、柯西积分定理的推广定理。第三节柯西积分公式1.掌握柯西积分公式。第四节解析函数的导数1.掌握解析函数高阶导数公式。重点：柯西积分定理及其推广：柯西公式：解析函数高阶导数公式。难点：柯西公式：解析函数高阶导数公式的证明。深度和广度：理解复变函数积分的定义，性质，了解求复变函数的积分的计算公式；掌握柯西积分公式和高阶导数公式的应用。第四章级数第一节收敛序列与收敛级数1.了解幂级数收敛圆的概念；2.正确理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念。第二节幂级数1.理解幂级数：收敛圆和收敛半径。第三节泰勒级数1.理解解析函数的泰勒展式相关定理；2.掌握e、sinz、In(1+z)、（1+z)的麦克劳林（Maclaurin）展开式的求法，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。第四节洛朗级数1.理解罗朗（Laurent）定理，会求简单的函数在圆环内展为罗朗级数。重点：解析函数在圆及圆环内展为级数的理论。难点：罗朗定理的证明。深度和广度：了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，会简单的函数在圆环内展为罗朗级数的间接方法。第五章留数

第三章 积分 第一节 积分的概念、性质、计算 1. 理解复变函数积分的定义，性质 2. 了解求复变函数的积分的计算方法。 第二节 柯西定理及其推广 1. 理解柯西积分定理、柯西积分定理的推广定理。 第三节 柯西积分公式 1. 掌握柯西积分公式。 第四节 解析函数的导数 1. 掌握解析函数高阶导数公式。 重点：柯西积分定理及其推广；柯西公式；解析函数高阶导数公式。 难点：柯西公式；解析函数高阶导数公式的证明。 深度和广度：理解复变函数积分的定义，性质，了解求复变函数的积分的计算公式；掌握柯西积 分公式和高阶导数公式的应用。 第四章 级数 第一节 收敛序列与收敛级数 1. 了解幂级数收敛圆的概念； 2. 正确理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念。 第二节 幂级数 1. 理解幂级数：收敛圆和收敛半径。 第三节 泰勒级数 1. 理解解析函数的泰勒展式相关定理； 2. 掌握 z e 、sin z 、ln(1 + z)、  (1+ z) 的麦克劳林（Maclaurin）展开式的求法，并能利用它们 将一些简单的解析函数展开为幂级数。 第四节 洛朗级数 1. 理解罗朗（Laurent）定理，会求简单的函数在圆环内展为罗朗级数。 重点：解析函数在圆及圆环内展为级数的理论。 难点：罗朗定理的证明。 深度和广度：了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，会简单的函数在圆环内展为罗朗级 数的间接方法。 第五章 留数

第一节解析函数的孤立奇点1.了解无穷远点作为孤立奇点的概念；2.掌握孤立奇点的分类方法。第二节留数的一般理论1.正确理解留数的概念，会求孤立极点处的留数。2.理解留数定理，掌握用留数求围道积分的方法。第三节留数在计算定积分和反常积分中的应用1.掌握用留数求一些简单实积分。重点：留数的概念、计算、留数定理。难点：应用留数计算定积分。深度和广度：熟练掌握求孤立奇点的分类及留数的方法，并利用留数定理求一些实积分。第六章傅里叶变换第一节傅里叶积分1.了解傅里叶积分，傅里叶积分定理，频谱的概念第二节傅里叶变换1.理解傅里叶变换的概念，会求一些常见函数的傅里叶变换。2.正确理解傅里叶变换的线性性质、位移性质、微分性质、积分性质，理解卷积的概念及卷积定理，会用这些性质来求傅里叶变换，解线性微分方程。第三节8函数及其傅里叶变换1.了解单位脉冲函数（8一函数）的概念及筛选性质并会用此性质来求一些函数的傅里叶变换。重点：傅里叶变换的概念、性质、应用难点：8函数的概念深度和广度：掌握傅里叶变换的概念、性质、应用。第七章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换的概念1.理解拉普拉斯变换的概念、知道拉普拉斯变换的存在定理。第二节拉普拉斯逆变换1.理解拉普拉斯逆变换的概念2.掌握利用留数求拉普拉斯逆变换的方法第三节拉普拉斯变换的性质1.理解拉普拉斯变换的线性性质、微分性质、积分性质、位移性质及延迟性质

第一节 解析函数的孤立奇点 1. 了解无穷远点作为孤立奇点的概念； 2. 掌握孤立奇点的分类方法。 第二节 留数的一般理论 1. 正确理解留数的概念，会求孤立极点处的留数。 2. 理解留数定理，掌握用留数求围道积分的方法。 第三节 留数在计算定积分和反常积分中的应用 1. 掌握用留数求一些简单实积分。 重点：留数的概念、计算、留数定理。 难点：应用留数计算定积分。 深度和广度：熟练掌握求孤立奇点的分类及留数的方法，并利用留数定理求一些实积分。 第六章 傅里叶变换 第一节 傅里叶积分 1. 了解傅里叶积分，傅里叶积分定理，频谱的概念 第二节 傅里叶变换 1. 理解傅里叶变换的概念，会求一些常见函数的傅里叶变换。 2. 正确理解傅里叶变换的线性性质、位移性质、微分性质、积分性质，理解卷积的概念及卷积 定理，会用这些性质来求傅里叶变换，解线性微分方程。 第三节 δ函数及其傅里叶变换 1. 了解单位脉冲函数（δ—函数）的概念及筛选性质并会用此性质来求一些函数的傅里叶变换。 重点：傅里叶变换的概念、性质、应用 难点：δ函数的概念 深度和广度：掌握傅里叶变换的概念、性质、应用。 第七章 拉普拉斯变换 第一节 拉普拉斯变换的概念 1. 理解拉普拉斯变换的概念、知道拉普拉斯变换的存在定理。 第二节 拉普拉斯逆变换 1. 理解拉普拉斯逆变换的概念 2. 掌握利用留数求拉普拉斯逆变换的方法 第三节 拉普拉斯变换的性质 1. 理解拉普拉斯变换的线性性质、微分性质、积分性质、位移性质及延迟性质

2.掌握用拉普拉斯变换的性质、部分分式法及查表的方法求拉普拉斯变换，第四节拉普拉斯变换的应用1．掌握用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。重点：拉普拉斯变换的概念；性质；应用。难点：拉普拉斯变换存在定理的证明。深度和广度：掌握拉普拉斯变换的定义、性质：会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。三、学时分配（本项编写要求：按章节简要编写各教学环节的学时分配）各教学环节学时分配小章习讨课次讲实上备注计授机题论外验541第一章复数与复变函数761第二章导数617第三章积分761第四章级数2108第五章留数819第六章傅里叶变换981第七章拉普拉斯变换54468合计五、考核说明本课程所采用的考核方法为闭卷考试形式，成绩评定的方法为平时成绩占10%，期中成绩占20%，期末成绩占70%。六、主要教材及教学参考书目（一）主要教材1.苏变萍等著《复变函数与积分变换》，高等教育出版社2003年。（二）主要参考书目1.上海交通大学数学系《复变函数与积分变换》，上海交通大学出版社2012年版；2.黄建雄等《复变函数与积分变换》，科学出版社2013年版

2. 掌握用拉普拉斯变换的性质、部分分式法及查表的方法求拉普拉斯变换。 第四节 拉普拉斯变换的应用 1. 掌握用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。 重点：拉普拉斯变换的概念；性质；应用。 难点：拉普拉斯变换存在定理的证明。 深度和广度：掌握拉普拉斯变换的定义、性质；会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分 方程组。 三、学时分配 （本项编写要求：按章节简要编写各教学环节的学时分配） 章 次 各教学环节学时分配 小 计 讲 授 实 验 上 机 习 题 讨 论 课 外 备 注 第一章 复数与复变函数 5 4 1 第二章 导数 7 6 1 第三章 积分 7 6 1 第四章 级数 7 6 1 第五章 留数 10 8 2 第六章 傅里叶变换 9 8 1 第七章 拉普拉斯变换 9 8 1 合 计 54 46 8 五、考核说明 本课程所采用的考核方法为闭卷考试形式，成绩评定的方法为平时成绩占 10%，期中成绩占 20%， 期末成绩占 70%。 六、主要教材及教学参考书目 （一）主要教材 1．苏变萍等著《复变函数与积分变换》，高等教育出版社 2003 年。 （二）主要参考书目 1．上海交通大学数学系《复变函数与积分变换》，上海交通大学出版社 2012 年版； 2．黄建雄等《复变函数与积分变换》， 科学出版社 2013 年版