广东海洋大学：《大学物理》课程教学资源（习题分析与解答）第十三章 电磁感应（2/2）

作业13—16 证明：连接OP、OQ,设想在PQO 的闭合导体回路中，由于OP、 OQ沿半径方向，于通过该处的感 应电场强度E处处垂直，故有： Sop=lopEdi=0; eo-oE●di=0 即OP、OP段均无电动势，由法拉第电磁感应定律求出 的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ上的电动势。 dB dB I 二BA0PO dΦ dt dt dt 21 2-

作业13—16 Q O P B l x dx O’ Ek r   证明:连接OP、OQ，设想在PQO 的闭合导体回路中，由于OP、 OQ沿半径方向，于通过该处的感 应电场强度Ek处处垂直，故有： = • = 0;  E dl op op  =  E • dl = 0 OQ OQ  即OP、OP段均无电动势，由法拉第电磁感应定律求出 的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ上的电动势。 2 2 ) 2 ( 2 l R l dt dB dt dB S d t d P Q = OPQ = = −  = −   

作业13-21 解：两平行长直导线可以看成是无限 长但宽度为d的矩形回路的一部分。设 在回路中通有逆时针方向的电流I,然 后计算图中阴影部分的磁通量。该区 域内的磁场可以看成两无限长直导线 d 分别在该区域产生的磁场的叠加。 两平行导线间的磁感应强度为：B= 02 2π(d-r) 磁通量为：D=∫BS=Bd_ _d-a Φ 则长为的一对导线的自感为：L=

作业13 —21 r d I I l O 解：两平行长直导线可以看成是无限 长但宽度为 d的矩形回路的一部分。设 在回路中通有逆时针方向的电流 I，然 后计算图中阴影部分的磁通量。该区 域内的磁场可以看成两无限长直导线 分别在该区域产生的磁场的叠加。 2 2 ( ) 0 0d r I rI B − = +    两平行导线间的磁感应强度为： a Il d a B dS Bldr d a a S −  =  • =  = − l n 0  磁通量为： a l d a I l L − =  = l n 0  则长为 的一对导线的自感为：

作业13—22 解：(1)当A和A'连接时，AB 和AB线圈中的电流流向相反， 且由于两线圈紧密结合，通过 回路的磁通量也相反，故穿过 大回路的总通量为：①1=0，故L1=0 (2)当A和B连接时，AB和AB线圈中的电流流向相同， 且由于两线圈紧密结合，通过回路的磁通量也相同，故穿 过大回路的总通量为： Φ2=2Φ+2Φ=4Φ，故L2= =4 -=4L 可参阅赵凯华的《电磁学》下册第五章“两个线圈串连的 自感系数”内容

作业13—22 A B A B 解：（1）当A和A’连接时，AB 和A’B’线圈中的电流流向相反， 且由于两线圈紧密结合，通过 回路的磁通量也相反，故穿过 大回路的总通量为： 1 = 0，故L1 = 0 （2）当A’和B连接时，AB和A’B’线圈中的电流流向相同， 且由于两线圈紧密结合，通过回路的磁通量也相同，故穿 过大回路的总通量为： L I I 2 2 4 L 4 4 2 2 2 =  =   =  +  = ，故 = 可参阅赵凯华的《电磁学》下册第五章“两个线圈串连的 自感系数”内容

补充 B 3A B' B' 设线圈中产生的感应电动势为8， 设线圈对线圈产生的互感电动势为ε 线圈1中的电动势为：1+621=-(L1 d -M dt dt 线圈2中的电动势为：2+812=-(L d

补充 1 A B 2 A’ B’ 1 A B 2 A’ B’ 1 A B 2 A’ B’ 设线圈i中产生的感应电动势为 i ， 设线圈i对线圈j产生的互感电动势为 ji； 线圈 中的电动势为： （ ） dt dI M dt dI 1  1 +  21 = − L1 + 线圈 中的电动势为： （ ） dt dI M dt dI 2  2 +  12 = − L2 +

补充 如此图所示相联，两线圈中的电流流 向相同，则线圈中总的感应电动势为： A'B' ￡=81+B21+82+612 h-L=山+62M d d =-(L1+L2+2M) dt 如此图所示相联，两线圈中的电流流 向相反，则线圈中总的感应电动势为： AB A B 8=61-821+82-612 =4+h2w出1%1=h+-2M

补充 1 A B 2 A’ B’ 如此图所示相联，两线圈中的电流流 向相同，则线圈中总的感应电动势为： dt dI L dt dI = −（L1 + L2 + 2M） = − 1 21 2 12  =  + + +  L = L1 + L2 + 2M 1 A B 2 A’ B’ 如此图所示相联，两线圈中的电流流 向相反，则线圈中总的感应电动势为： 1 21 2 12  =  − + − dt dI L dt dI = −（L1 + L2 − 2M） = −  L = L1 + L2 − 2M

补充 (1) 当线圈1和线圈2之间无漏磁时，M=VL1L2 (2)当线圈1和线圈2之间完全无关时，若两线圈之 间离得很远，或者是它们之间相互无磁力线穿过时： M=0: (3)当线圈1和线圈2之间的“关联”介于以上二者 之间时，即两线圈之间相互有部分磁力线穿过时： 0<M<LL 上面讲的问题中，L=L2,且线圈1和线圈2之间无漏磁， 故M=VL1L2=L1=L2

补充 （1）当线圈1和线圈2之间无漏磁时， M = L1 L2 （2）当线圈1和线圈2之间完全无关时，若两线圈之 间离得很远，或者是它们之间相互无磁力线穿过时： M = 0; （3）当线圈1和线圈2之间的“关联”介于以上二者 之间时，即两线圈之间相互有部分磁力线穿过时： 1 2 0  M  L L 上面讲的问题中，L1=L2，且线圈1和线圈2之间无漏磁， 故M = L1 L2 = L1 = L2

作业13—24 解：设线圈A中有电流通过，它 在线圈C所包围的平面内各点产 生的磁感应强度近似为： B=- 40IR2 d 2(R2+d2)312 穿过C线圈的磁链为：V=BSc= HoIR2 2(R2+d2)3/20 则两线圈的互感为： M= 40m2R2 2(R2+d2)3/2 若线圈C的匝数为N匝，则互感为上述值的N倍

作业13—24 A C d R r 解：设线圈A中有电流I通过，它 在线圈C所包围的平面内各点产 生的磁感应强度近似为： 2 2 3/ 2 2 0 2(R d ) IR B + =  穿过C线圈的磁链为： 2 2 2 3/ 2 2 0 2( ) r R d IR BSC    + = = 则两线圈的互感为： 2 2 3/ 2 2 2 0 2(R d ) r R I M + = =    若线圈C的匝数为N匝，则互感为上述值的N倍

作业13—25 解：建立如图所示的坐标系， 则通有电流的长直导线在线圈 平面内磁感应强度的分布为： B= oI 2π(d+x) d 穿过面元Ds的磁通量为： dΦ=B·dS= 0 2R cos Qdx 2π(d+x) 又由于x=RsinO,dx=Rcos0 代入上式，得

作业13—25 解：建立如图所示的坐标系， 则通有电流I的长直导线在线圈 平面内磁感应强度的分布为： 2 ( ) 0 d x I B + =   x I R y d dx  d O 穿过面元Ds的磁通量为： R dx d x I d B dS    2 cos 2 ( ) 0 +  = • = 又由于 x = Rsin,dx = Rcos 代入上式，得

作业13一25 =4l[R2-d2 +d-Rsinθ]do πd+RsinO 因此穿过圆形回路的磁通量为： -=L +d-Rsine]de d+RsinO 2 =-2t2-R2(amg设+代 d+R d-R)+d元 =4d-a2-R→M-9-4a-ya2R吗 Φ 注：arctgA+rcgA=2 d+R d-R +arctd+R 2

作业13—25      d R d d R I R d d sin ] sin [ 2 2 0 + − + −  = 因此穿过圆形回路的磁通量为：   − + − + −  =  = 2 2 2 2 0 sin ] sin [        d R d d R I R d d [ 2 ( ) ] 0 2 2    d d R d R arctg d R d R d R arctg I + + − + − + = − − [ ] 2 2 = 0 I d − d − R [ ] 2 2 0 d d R I M = − −   =  2 2 1   = + − + − + + =  d R d R arctg d R d R arctg A 注：arctgA arctg

作业13-29 解：取长度为单位长度，半径为r,厚为dr的薄 柱壳为体积元dV,则该体积元内储存的能量为： 20 根据安培环路定理，知f,B内·=oI' 宁6,2西1深 故单位长度导线内储存的磁能为： 所ma-2m 16元

作业13—29 解：取长度为单位长度，半径为r，厚为dr的薄 柱壳为体积元dV，则该体积元内储存的能量为： dWm B rdr  2 2 1 2 0 = 内 B dl I l • =  根据安培环路定理，知 内 0 2 0 2 2 0 2 2 R rI I B R r B r      内  =   内 = 故单位长度导线内储存的磁能为：       16 ) 2 2 ( 2 1 2 0 0 2 2 0 0 I rdr R Ir W dW R m =  m =  =