《电磁学》课程教学课件（PPT讲稿）（11/13）

1.6静电场的保守性和环路定理 静电场力的功 +cbcE→E 1点电荷的场中移动点电荷qo 从到F+,电场做的功:q da=Fdl=goe dl=goe.dr.cos(E dr 4兀 点电荷qo从P到Q 点,电场所做的功为: A= dA qoq dr g P P4丌Er

一、静电场力的功 1.6 静电场的保守性和环路定理 1.点电荷的场中移动点电荷 从 到 ,电场做的功： 0 q r dr   r +  dr r q q dA F dl q E dl q E dr E dr 2 0 0 0 0 4 ˆ) ˆ | | cos(   = =  =  =         点电荷 从 P到 Q 点，电场所做的功为： o q dr r q q A dA Q P Q P 4 2 0 0   = =   q 0 q Q r  Q P r  P r dr   + dr  E  r  r dr   + dr  E  0 q q

O d=-00c P P4丌Er 做功与路径无关 40q 静电场力是保守力 yEo rp 2.对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带 电体,可看成是由无数电荷元组成,由场强叠加原 理可得到电场强度的线积分(移动单位电荷的功) 为 E=E团=「(E1+E2+…+E) P E1d+E2,dl+…En,团=A(P2Q) P 任何静电场,电场强度的线积分只取决于起始和终了 的位置,而与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性

) 1 1 ( 4 0 0 P Q r r q q A = −   dr r q q A dA Q P Q P 4 2 0 0   = =   2. 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带 电体，可看成是由无数电荷元组成，由场强叠加原 理可得到电场强度的线积分（移动单位电荷的功） 为： 做功与路径无关 静电场力是保守力     =  = + + +  Q P n Q P Q P E dl E dl E E E dl          ( ) 1 2 ( , ) E1 dl E2 dl E dl A P Q Q P n Q P Q P =  +  +  =           任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了 的位置,而与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性

二、静电场的环路定理 静电场的保守性还可表述为: 在静电场中,场强沿任意闭 FE.dI=o 合路径的线积分等于零。称 为静电场的环路定理或环流 定理。 17电势差和电势等势面、电势梯度 、电势能、电势差、电势 1.静电场力作功等于相应电势能 的减量或电势能增量的负值 q APo=-(Wo-Wp)=Wp-W

静电场的保守性还可表述为： 在静电场中，场强沿任意闭 合路径的线积分等于零。称 为静电场的环路定理或环流 定理。 二、静电场的环路定理   = L E dl 0   1.7 电势差和电势等势面、电势梯度 一、电势能、电势差、电势 q 0 q Q r  Q P r  P 1.静电场力作功等于相应电势能 的减量或电势能增量的负值 AP Q = −（WQ −WP ）=WP −WQ

2.电势差: 移动单位正电荷从电场中P点移到Q点,静电力 所做的功,为静电场中两点的电势差: U=U-U E·dl Q 3.电势:场点P的电势定义为: 将单位正电荷从P点沿任意路径移到电势为零的 点时,静电力所做的功。 当电荷只分布在有限区域时,零点通常选在无穷远处。 Up=U=U-U2=E在实际问题中,也常常 选地球的电势为零电势。 电势差与电势的零点选 E dl 取无关

    q W q W U U U E dl P Q Q P P Q = P − Q =  = −  2. 电势差： 3. 电势： 当电荷只分布在有限区域时，零点通常选在无穷远处。     = = − =  P P P P U U U U E dl   将单位正电荷从P点沿任意路径移到电势为零的 点时，静电力所做的功。 在实际问题中，也常常 选地球的电势为零电势。 电势差与电势的零点选 取无关。 移动单位正电荷从电场中 P 点移到 Q 点，静电力 所做的功，为静电场中两点的电势差: 场点 P 的电势定义为：    q W U E dl P P P =  =  

电势差和电势的单位相同,在国际单位制中, 电势的单位为:焦耳库仑(记作JC),也称 为伏特( Volt. v),即1V=1J/C 4.当已知电势分布时,可用电势差求出 点电荷在电场中移动时电场力所做的功: APo=oE dl=o(UP -UO) 举例 例1、求:点电荷产生的电场中的电势分布 解:用场强分布和电势的定义直接积分。 E 4Ter q Un=U-U=E·d= Jp 4Er 4兀E

电势差和电势的单位相同，在国际单位制中， 电势的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称 为伏特（Volt,V），即1V＝1J/C 4. 当已知电势分布时，可用电势差求出 点电荷在电场中移动时电场力所做的功：  =  = − Q P PQ q UP UQ A q E dl ( ) 0 0   二、举例： 例1、求: 点电荷产生的电场中的电势分布 解: 用场强分布和电势的定义直接积分。 r r q E ˆ 4 2   0 =  p p p p p r q dr r q U U U E dl 0 2 4 0 4  = − =  = =        p E  q r 

正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远,电势越低。 Up=M离电荷越远,电势越高 负点电荷周围的场电势为负 例2、求:均匀带电球面的电场中的电势分布。 解:设球面半径为R,总带电量为Q U(r)=3r teri dr=0 ≥R 4Er Q U(r)= Edr+ R R4丌Er Q r< R 4丌EnR 带电球壳是个等势体。0R

p p r q U 4 0 = 负点电荷周围的场电势为负 离电荷越远，电势越高。 例2、求: 均匀带电球面的电场中的电势分布。 解: 设球面半径为R，总带电量为Q r R R Q dr r Q U r Edr R r R =  = +    0 2 0 4 4 ( )     r R r Q dr r Q U r r = =    0 2 4 0 4 ( )     正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。 带电球壳是个等势体。 R U r 0 R Q

例3、求:无限长均匀带电直线的电场中的电势分布 已知场强为:E 方向垂直于带电直线。 2元EF 解:若仍然选取无穷远为电势零点,则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时,我们可以选取某一距带电直导线 为的Po点为电势零点,则距带电直线为r的P点的电势: ∫pEd+E:d=0+ p2丌Er In r+ In r+c 2 2兀E0 2T p p 由此例看出,当电荷分布扩展到无穷 远时,电势零点不能再选在无穷远处

例 3、求: 无限长均匀带电直线的电场中的电势分布 r E 2  0  已知场强为： = 方向垂直于带电直线。 dr r U E dl E dl p p p p p  p  =  +  = + 0 0 ' 0 ' ' 2 0        r r r +C − + = − = ln 2 ln 2 ln 2 0 0 0 0          由此例看出，当电荷分布扩展到无穷 远时，电势零点不能再选在无穷远处。 p o p ' p o r 0 r p0 r p 解: 若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线 为 的 点为电势零点，则距带电直线为 的 点的电势： r

电势的叠加原理 表述:一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和 表达式:U(D)=E=(E+E2+…)d=∑U(P) P P U()Edi=qi 4 U(p)=∑ 4丌E 当电荷连续分布时,可以设想它由许多电荷元 组成,将每个电荷元看成点电荷,它产生的电 势的叠加就是总的电势。可写为:

三、电势的叠加原理      =  = + +  = i i p p U( p) E dl (E E ) dl U ( p) 1 2       1 r  2 r  3 r  i r  1 q 2 q 3 q i q p 当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元 组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电 势的叠加就是总的电势。可写为：   =  = p i p i i i r q U p E dl 4 0 ( )     =  i i i r q U p 4 0 ( )   表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。 表达式：

4兀Er 电荷体密度为的带电体产生的电势: p dv U(r)= 电荷面密度为O的带电体产生的电势: ds 4兀Er 电荷线密度为入的带电体产生的电势: U(r)= 4兀

 = V r dV U r 4 0 ( )     = S r dS U r 4 0 ( )     = L r dl U r 4 0 ( )    电荷体密度为  的带电体产生的电势： 电荷面密度为  的带电体产生的电势： 电荷线密度为  的带电体产生的电势：  = r dq U r 4 0 ( )  

例4、试计算均匀带电圆环轴线上任一点P的电势 设已知带电量为qdU 4丌E0F 2丌 aRde L4/80r 4IS(z+R U/(=)= 4(z2+R2)2 作业:3-13-6,3-7,3-9, 四、等势面、电势梯度 1.等势面:将电场中电势相等的点连接起来组成的 面叫做等势面即U(x,y,)=C的空间曲面称为等 势面。等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线

r dq dU 4  0  = 2 1 2 2 0 4 ( ) ( ) z R q U z + =      + = =        2 0 2 1 2 2 0 0 4 ( ) 4 z R Rd r dq dU L 例 4、试计算均匀带电圆环轴线上任一点P的电势。 设已知带电量为 q Z R r p dq 1. 等势面：将电场中电势相等的点连接起来组成的 面叫做等势面.即 的空间曲面称为等 势面。等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。 U(x, y,z) = C 四、等势面、电势梯度 作业：3-1 3-6, 3-7, 3-9