上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（习题集）第五章补充习题

第五章大数定律和中心极限定理 一、基本题 1.设某种电器元件不能承受超负荷试验的概率为0.05。现在对100个这样的元件进行超负 荷试验。以X表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理 P{5≤X≤10}=—。 2.设随机试验成功的概率p=20%,现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次 数介于16次和32次之间的概率q= 3.将一枚均匀对称的硬币接连掷10000次，则正面恰好出现5000次的概率 Q= 4.根据有关观测资料，异性双胞胎占双胞胎总数的36%。试求在1000例双胞胎中异性双 胞胎例数介于300和400例之间的概率 5.独立同分布随机变量序列X,X2,Xn.服从辛钦大数定律，只要 6设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，Sn=X,+X2++Xn,则根据列维-林德伯格中心 极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X,X2,,Xn [A)有相同期望和方差 [B]服从同一离散型分布 [C服从同一指数分布 [D]服从同一连续型分布 二、提高题 1.将一枚骰子重复掷n次，则当n→o时，算术平均值X,依概率收敛于 2.假设随机变量列X1,X2,,X。.独立同分布，其数学期望和方差存在： EX =u,DX =o2 [k =1,2,...] 证明名+X++X。P,业 X+X好++X 。2+2

第五章 大数定律和中心极限定理 一、基本题 1. 设某种电器元件不能承受超负荷试验的概率为 。现在对100个这样的元件进行超负 荷试验。以 0.05 X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理 P X {5 10} __________ ≤≤ = 。 2. 设随机试验成功的概率 ，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次 数介于16次和 次之间的概率 p = 20% 32 q = __________ . 3. 将一枚均匀对称的硬币接连掷 10000 次，则正面恰好出现 5000 次的概率 α = __________ . 4. 根据有关观测资料，异性双胞胎占双胞胎总数的 。试求在1000例双胞胎中异性双 胞胎例数介于 和 例之间的概率 36% 300 400 5. 独立同分布随机变量序列 1 2 , ,... ... X X Xn 服从辛钦大数定律，只要 _________. 6.设随机变量 1 2 , ,..., X X Xn 相互独立, 1 2 ... n S XX X = + ++ n ,则根据列维-林德伯格中心 极限定理,当 充分大时 近似服从正态分布 n Sn ,只要 1 2 , ,..., __________ . XX Xn [A] 有相同期望和方差 [ ] B 服从同一离散型分布 [ ] C 服从同一指数分布 [D] 服从同一连续型分布 二、提高题 1. 将一枚骰子重复掷 次，则当 时，算术平均值 n n → ∞ Xn 依概率收敛于 _______. 2.假设随机变量列 1 2 , ,..., ... X X Xn 独立同分布,其数学期望和方差存在: 2 , [ 1, 2,...] EX DX k k k == = μ σ 证明: 1 2 22 2 2 1 2 ... ... n P n XX X XX X 2 μ σ μ + ++ ⎯⎯→ + ++ +