哈尔滨工业大学：《计算机图形学》第6章 三维实体造型（二）

三维实体造型 苏小红 哈尔澳工业大学计犷机科学与技术学院

（二） 苏 小 红 哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院

分形几何 ●欧氏几何 使用方程描述有平滑的表面和规形状的物体 分形几何 使用过程对具有不几何形态的物体(如自然景物)建模

2 欧氏几何 ◼ 使用方程描述有平滑的表面和规则形状的物体 分形几何 ◼ 使用过程对具有不规则几何形态的物体（如自然景物）建模 分形几何

分形的由来(14) 1906年,瑞典数学家 H Von Kocl在研究构造 连续而不可微函数时,提出Koch曲线 周长无穷,但面积为定值(0) 构造方法

4 1906年，瑞典数学家H.Von Koch在研究构造 连续而不可微函数时，提出Koch曲线。 周长无穷，但面积为定值（0） 分形的由来（1/4） 构造方法

分形的由来(2/) 周长无穷,但面积为定值 4 3 3a()2×3a,m 34 343 2 Von koch snowflake S=a2,S+-×-S,S+-x-S +-×(-)2S. 494 =og4/log3=12618 构造方法

构造方法 5 周长无穷，但面积为定值 分形的由来（2/4） ) 3 , 3 4 3 ,( 3 4 3 , 2 a  a  a ......→ , 4 3 2 S = a 2 2 5 2 3 ) ,...... 9 4 ( 4 3 9 4 4 3 , 9 4 4 3 S +  S S +  S +  S → a Von koch snowflake D=log4/log3=1.2618 ……

分形的由来(314) 60年代,现代分形理论的萸基人B,B, Mandelbrot 将雪花与海岸线、山水、树木等自然景物联系起来 67年,英国《科学》杂志,英国的海岸线有多长? 纷计自相性与分数丝数 么是分形? 指具有多重自相似的对象 它可以是自然存在的,也可以是人造的

6 分形的由来（3/4） 60年代，现代分形理论的奠基人B.B.Mandelbrot 将雪花与海岸线、山水、树木等自然景物联系起来 67年，英国《科学》杂志，《英国的海岸线有多长？ 统计自相似性与分数维数 》 什么是分形 ？ 指具有多重自相似的对象 它可以是自然存在的，也可以是人造的

分形的由来(44) fracta概念的由来 根据拉丁语facs造的词 词根含义 细片的、破碎的、分裂的、分数的 75年,法文专著《分形对象形、机遇与维数 77年,英译本分形;形、机遇与维数》( Fractals:Fom Chance, and Dimension 82年,增补本,改名为《大自然的分形几何学》

7 分形的由来（4/4） fractal概念的由来 75年，法文专著《分形对象:形、机遇与维数 77年，英译本《分形：形、 机遇与维数》 (Fractals: Form, Chance, and Dimension) 82年，增补本，改名为《大自然的分形几何学》 根据拉丁语fractus造的词 词根含义： ◼ 细片的、破碎的、分裂的、分数的

分形几何(18) 分形物体的细节变化用分形数(分数组) 来描述,它是物体粗糙性或细碎性的度量 么是分数组?

8 分形几何（1/8） 分形物体的细节变化用分形维数（分数维） 来描述，它是物体粗糙性或细碎性的度量。 什么是分数维？

分形几何(28) 整数数 拓扑丝数 只能取整数 表示描述一个对象所需的独立变量的个数

9 分形几何（2/8） 整数维数 ◼ 拓扑维数 ◼ 只能取整数 表示描述一个对象所需的独立变量的个数

分形几何(3/8) 分数维数 度量丝数 是从测量的角度定义的 从测量的角度看,维数是可变放。 例如:看一个丢线团 ·从洲量的魚度重新理解维数概念

10 分形几何（3/8） 分数维数 ◼ 度量维数 是从测量的角度定义的 ◼ 从测量的角度看，维数是可变的。 例如：看一个毛线团 从测量的角度重新理解维数概念

分形几何(4/8) 一根一维线段L,单位长度A,将其边长扩大到原来的3倍,看看能得到几个 原始对象(单位长度为A的线段) L→3L=3^1L 平面上的一个正方形P,边长为A,将其边长扩大到原来的3倍,则得到9个正 方形 P→9P=3^2P 对于三维空间上的正方体V,边长为A,将其边长扩大到原来的3倍,则得到 7个立方体 v→27v=3^3*V 得到的总个数可表达为 MEBAd 其中B指放大倍数,M是总个数,相当于对象的维数 换一种写法有: d=logM/log B 其中指数d相当于维数

11 分形几何（4/8） 一根一维线段L，单位长度A，将其边长扩大到原来的3倍，看看能得到几个 原始对象(单位长度为A的线段)。 3个： L→3L=3^1*L 平面上的一个正方形P，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍，则得到9个正 方形： P→9P=3^2*P 对于三维空间上的正方体V，边长为A，将其边长扩大到原来的3倍，则得到 27个立方体： V→27V=3^3*V 得到的总个数可表达为： M=B^d 其中B指放大倍数，M是总个数，d相当于对象的维数。 换一种写 法有： d=logM/logB 其中指数d相当于维数