哈尔滨工业大学：《计算机图形学》第4章 自由曲线与曲面（二）

第四章白由曲线与曲面 (二) 哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红

第四章 自由曲线与曲面 （二） 哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红

Bezier曲线 1962年,法国雷诺汽车公司 PE Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURE系统 1972年雷诺汽车公司正式使用一

2 Bezier曲线 1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用

Bezier曲线(119) Bezie基函数- Bernstein多项式的定义 BEZ(1)=C7(1-),t∈[0,1 次 Bezier曲线的四个混合函数 i!(n-1)

3 Bezier曲线（1/19） Bezier基函数--Bernstein多项式的定义 ( ) (1 ) , [0,1] , = −  − BEZ t C t t t i i n i i n n !( )! ! i n i n C i n − = 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 BEZ (u) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 BEZ (u) BEZ (u) u u 1 0.8 0.6 0.4 0.2 BEZ (u) 0.8 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.6 0.8 1 1 u 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 u 1 0.2 三次Bézier曲线的四个混合函数

Bezier曲线(2/19) Bernstein基函数的性质 正性BEz,()≥0,t∈[O,1 权性 ∑BEZn()=1,t∈[0,1 i=0 对称性。BEZ1()=BEn1(1-0) 降阶公式BEZ10(1)=(1-1)BEZn()+1BEZ=1n1() 升阶公式BEZn() BEZ n+1 BEZa(t) 1+l i+1,n+1 n+1

4 Bezier曲线（2/19） Bernstein基函数的性质 ◼ 正性 ◼ 权性 ◼ 对称性 ◼ 降阶公式 ◼ 升阶公式 ( ) (1 ) , , BEZ t BEZ t i n = n−i n − ( ) 0 , [0,1] BEZi,n t  t  ( ) 1 , [0,1] 0  , =  = BEZ t t n i i n ( ) (1 ) ( ) ( ) , , 1 1, 1 BEZ t t BEZ t tBEZ t i n = − i n− + i− n− ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) , 1, 1 , 1 BEZ t n n i BEZ t n i i BEZ t i n i+ n+ i n+ + + − + + + =

Bezier曲线(319) 数 BEZin(t)=n(BEZ-Ln-(t)-tBEZn-(t)) 积分「BEZ,A()= n+1 最大值 在t=in处取得最大值 线性无关性 {BEZ(O)是n次多项式空间的一组基一

5 Bezier曲线（3/19） ◼ 导数 ◼ 积分 ◼ 最大值 在t = i/n处取得最大值 ◼ 线性无关性 是n次多项式空间的一组基 1 1 ( ) 1 0 , + =  n BEZ t i n   n n i i BEZ t , 0 ( ) = ( ) ( ( ) ( )) , 1, 1 , 1 BEZ t n BEZ t tBEZ t i n = i− n− − i n−

Bezier曲线(419) Bezier曲线的定义 n次多项式曲线P()称为n次 Bezier曲线 P()=∑PBEZ1n()-t∈[0, 控制顶点 控制多边形

6 Bezier曲线（4/19） Bezier曲线的定义 ◼ n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线 ◼ 控制顶点 ◼ 控制多边形 ( ) ( ) [0,1] 0 =   ,  = P t P BEZ t t n i i i n P0 P1 P2 P3

Bezier曲线(519) Bezier线的性质 端点位置 P(t)1。=0 P(La=p

7 Bezier曲线（5/19） Bezier曲线的性质 ◼ 端点位置 0 0 P(t) | t= = P t Pn P(t) | =1 = P0 P1 P2 P3

Bezier曲线(619) 端点切矢量 P(also=P-P P(ta=p-p 导数曲线 P(1)=n∑(P=P),BEZn()t∈[0

8 Bezier曲线（6/19） ◼ 端点切矢量 导数曲线 0 1 0 P(t) | t= = P − P 1 1 ( ) | = = − −  t Pn Pn P t ( ) ( ) ( ) [0,1] 1 0  =  1 −  , 1  − = + − P t n P P BEZ t t n i i i i n P0 P1 P2 P3

Bezier线(7/19) 对称性 不是形状对称 ·保持贝塞尔曲线全部控制点P的坐标位置不变,只 是将控制点P的排序颠倒,曲线形状保持不变

9 Bezier曲线（7/19） ◼ 对称性 不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只 是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变

Bezier曲线(819) 凸包性 点集的凸包 包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内

10 Bezier曲线（8/19） ◼ 凸包性 点集的凸包 ◼ 包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内 p2 3 p 0 p 1 p