《量子力学》第九章 电子自旋（9.5）自旋纠缠态

§9.5自旋纠缠态 1.两个电子自旋的合成 设S1和S2代表两个电子的自旋,它们的总自旋是S=S1+S2,对照角动量合成的一般规则,现在 =j2=1/2,所以总自旋的大小可以取值 S=1.0. 形象地说,当两个电子的自旋互相平行的时候S=1,而当两个电子的自旋反平行的时候S=0 我们还要解决总自旋的本征态如何用各电子的态矢量来表达的问题,换句话说,也就是要计算这个 时候的CG系数。我们约定用|S,m2)来表示总自旋本征态,而单个电子的状态用a(自旋二分量向上) 和B(自旋z分量向下)来表示(见§9.1),并且在它们的右下角用1和2来区分两个电子。对于合成的 状态1,1)和1-1),它们的分解是显然的 1.1)=a1a2,1-1)=月B2 但是1,0)和0,O)就比较复杂。我们必须假设,比如 1.O)=caB2+c21a2 因为这两项都是S=0的本征态。为了决定G,e2,厘该要护 1,0)=2h2|1,0 注意到 S2=S12+S2+S1S2+S1S2+2:S2=(3/2)h2+S1S2+S1S2+2 S,a=o, sa=hB, S B=ha, S_B=0 Sa=(1/2)ha,SB=-(1/2)hB, 我们发现 s210)=(3/2)2+S1S2+SS+2SSa1B1+e2Ba2) =h(+e2)a12+h2(+c2)月a2=2h21,0)=2h2(ca1B1+2A(12)n2c2月2 (3/2)h2caB2+h2cBa2-(1/2)h2c1a1B2+(3/2)h2c2B1a2+h2c2a1B2 所以必须有 C1+C2 这就给出了 其中已经考虑了归一化。所以 0)=(a1B2+Aa2) 类似地可以得到 0.0)=(a1B2-1a2) 总结一下。S=1是一个三重态,m=1,0,-1的态矢量分别为 B2+Ba2), BB2 而S=0是一个单态(只有m=0),态矢量为

1 §9.5 自旋纠缠态 1．两个电子自旋的合成 设 1 ˆ S  和 2 ˆ S  代表两个电子的自旋，它们的总自旋是 1 2 ˆ ˆ ˆ S S S    = + ，对照角动量合成的一般规则，现在 j1 = j2 = 1/ 2 ，所以总自旋的大小可以取值 S = 1, 0 . 形象地说，当两个电子的自旋互相平行的时候 S =1 ，而当两个电子的自旋反平行的时候 S = 0。 我们还要解决总自旋的本征态如何用各电子的态矢量来表达的问题，换句话说，也就是要计算这个 时候的 CG 系数。我们约定用 , s S m 来表示总自旋本征态，而单个电子的状态用  (自旋 z 分量向上) 和  (自旋 z 分量向下) 来表示（见§9.1），并且在它们的右下角用 1 和 2 来区分两个电子。对于合成的 状态 1, 1 和 1, 1− ，它们的分解是显然的： 1 2 1, 1 , =  1 2 1, 1 . − =   但是 1, 0 和 0, 0 就比较复杂。我们必须假设，比如 1 1 2 2 1 2 1, 0 , = + c c     因为这两项都是 0 z S = 的本征态。为了决定 1 2 c c, ，应该要求 2 2 S 1, 0 2 1, 0 . = 注意到 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 (3/ 2) 2 , z z z z S S S S S S S S S S S S S S S = + + + + = + + + + − − + + − − + 以及 S S    0, , + − = = S S    , 0, + − = = (1/ 2) , (1/ 2) , z z S S     = = − 我们发现 ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1, 0 (3/ 2) 2 ( ) (3/ 2) (1/ 2) (3/ 2) (1/ 2) ( ) ( ) 2 1, 0 2 ( ). z z S S S S S S S c c c c c c c c c c c c c c                         = + + + + + − − + = + − + + − = + + + = = + 所以必须有 1 2 1 2 c c c c + = = 2 2 , 这就给出了 1 2 1 . 2 c c = = 其中已经考虑了归一化。所以 1 2 1 2 1 1, 0 ( ). 2 = +     类似地可以得到 1 2 1 2 1 0, 0 ( ). 2 = −     总结一下。 S =1 是一个三重态， m = − 1, 0, 1 的态矢量分别为 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 ( ), 2 .         + 而 S = 0 是一个单态（只有 m = 0 ），态矢量为

(a1B2-B1a2) 们有一个非常重要的特点:S=1的三个状态对于两个电子的交换是对称的,而S=1的状态对于两 个电子的交换是反对称的。有时候为了更形象地表达这些状态,改用个)表示a,|)表示B,那么 1)=↑,个) 1-1)=|.4) L0女5(1,4+ 0.0)=75(14)-1,) 由于两电子总自旋本征态有不同的交换对称性,并考虑到电子是费米子,系统的波函数应该是交换 反对称的,而总波函数是空间波函数和自旋波函数的乘积,所以当两个电子的自旋合成为S=1的时候, 它的空间波函数必须是交换反对称的,而当两个电子的自旋合成为S=0的时候,它的空间波函数必须 是交换对称的。这些在多电子原子的电子壳层的形成以及化学键的形成(量子化学)中有重要的作用。 2.两电子自旋纠缠态 观察上面的两个电子的总自旋的本征态,我们发现它们有两种不同的构成方式:1和1,-1是 两个电子自旋本征态的简单直乘,而0)和0,0)是两个电子自旋本征态的不同直乘的线性组合 们把前者称为可分离态( eparable state,而后者称为纠缠态( entangled state) 一般地说,设一个量子系统由若干个子系统构成,如果该系统的量子态可以表示为各子系统量子态 的直接乘积,则称为可分离态,否则就称为纠缠态。实际上,“纠缠( entanglement)”,“耦合( coupling)", “关联( correlation)”在量子力学里表达了相似的概念或状况,很难严格加以区分。 在两电子自旋这个系统中,我们也可以把系统的基底完全建立在纠缠态上,那就是 v=(t4+1.0)=5(个,-1) (个个+4)=1(个+以 它们不再是{S,S}的共同本征态,而是{SxS2x,SS2y,SS2}中任何两个算符的共同本征态。这一 套基底称为两电子自旋系统的Bell基。从量子纠缠的角度来说,Bell基的优点是它们是“最大纠缠态”, 而这对于量子信息学(见下)是很重要的。 量子纠缠这个概念最早是由 Schrodinger提出来的(1935),并因此产生了著名的 Schrodinger猫 ( Schrodinger'cat)。也在同一年, Einstein-Podolsky- Roson(EPR)基于对纠缠态的测量行为的分析,向量 子力学的“正统解释”( Copenhagen解释)提出了严重的质疑,在实质上它涉及到量子力学的非定域性 (non- locality)与相对论的定域性之间的矛盾。后来有一些学者(如Bohm)提出了隐变量( hiden variables 说,试图以实在论的方式“解释”或“导出”量子力学。Bell根据定域实在论( ocal realism)提出了 Bell不等式。这些都属于向量子力学提出“挑战”的尝试。但是到目前为止,隐变量理论并未获得实验 的支持,关于Bl不等式的实验检验结果与量子力学的预言相符,EPR佯谬( paradox)也未能“推翻” 量子力学。所以我们应该说,到目前为止,量子力学仍然是“真理”,尽管量子力学的非定域性与相对 论的定域性之间的矛盾并未解决,量子测量的动力学(见§1.2)也还未搞清。 另一方面,更值得一提的是,量子信息学( quantum information)在近年来的迅猛发展,把量子纠缠 的研究提到了一个前所未有的高度,推到了一个崭新的阶段。一言以蔽之,量子纠缠是实现量子信息学 的各种功能(如量子计算( quantun computing),量子算法( quantum algorithm),量子远程传态( quantum teleportation),量子密码( quantun cryptogram)等等)的必不可少的“资源”,换句话说,量子纠缠是量 子信息学之区别于经典信息学的全部根源所在。所以,对这方面的发展给予适当的关心,对于更深入地 理解量子力学是有益的。 总而言之,量子力学是一门仍然在蓬勃发展中的,仍然有许多问题需要研究的学科。 作业:习题8.10,8.12

2 1 2 1 2 1 ( ). 2     − 它们有一个非常重要的特点： S =1 的三个状态对于两个电子的交换是对称的，而 S =1 的状态对于两 个电子的交换是反对称的。有时候为了更形象地表达这些状态，改用  表示  ，  表示  ，那么 1, 1 , , =   1, 1 , , − =   ( ) 1 1, 0 , , , 2 =   +   ( ) 1 0, 0 , , . 2 =   −   由于两电子总自旋本征态有不同的交换对称性，并考虑到电子是费米子，系统的波函数应该是交换 反对称的，而总波函数是空间波函数和自旋波函数的乘积，所以当两个电子的自旋合成为 S =1 的时候， 它的空间波函数必须是交换反对称的，而当两个电子的自旋合成为 S = 0 的时候，它的空间波函数必须 是交换对称的。这些在多电子原子的电子壳层的形成以及化学键的形成（量子化学）中有重要的作用。 2．两电子自旋纠缠态 观察上面的两个电子的总自旋的本征态，我们发现它们有两种不同的构成方式： 1, 1 和 1, 1− 是 两个电子自旋本征态的简单直乘，而 1, 0 和 0, 0 是两个电子自旋本征态的不同直乘的线性组合。我 们把前者称为可分离态 (separable state)，而后者称为纠缠态 (entangled state)。 一般地说，设一个量子系统由若干个子系统构成，如果该系统的量子态可以表示为各子系统量子态 的直接乘积，则称为可分离态，否则就称为纠缠态。实际上，“纠缠 (entanglement)”，“耦合 (coupling)”， “关联 (correlation)”在量子力学里表达了相似的概念或状况，很难严格加以区分。 在两电子自旋这个系统中，我们也可以把系统的基底完全建立在纠缠态上，那就是 ( ) ( ) 1 1 , , , , , , 2 2   + − =   +   =   −   ( ) ( ) 1 1 , , , , , . 2 2   + − =   +   =   −   它们不再是 2 { , }z S S 的共同本征态，而是 1 2 1 2 1 2 { , , } x x y y z z S S S S S S 中任何两个算符的共同本征态。这一 套基底称为两电子自旋系统的 Bell 基。从量子纠缠的角度来说，Bell 基的优点是它们是“最大纠缠态”， 而这对于量子信息学（见下）是很重要的。 量子纠缠这个概念最早是由 Schrödinger 提出来的 (1935)，并因此产生了著名的 Schrödinger 猫 (Schrödinger’s cat)。也在同一年，Einstein-Podolsky-Roson (EPR) 基于对纠缠态的测量行为的分析，向量 子力学的“正统解释”（Copenhagen 解释）提出了严重的质疑，在实质上它涉及到量子力学的非定域性 (non-locality)与相对论的定域性之间的矛盾。后来有一些学者（如 Bohm）提出了隐变量 (hiden variables) 假说，试图以实在论的方式“解释”或“导出”量子力学。Bell 根据定域实在论 (local realism) 提出了 Bell 不等式。这些都属于向量子力学提出“挑战”的尝试。但是到目前为止，隐变量理论并未获得实验 的支持，关于 Bell 不等式的实验检验结果与量子力学的预言相符，EPR 佯谬 (paradox) 也未能“推翻” 量子力学。所以我们应该说，到目前为止，量子力学仍然是“真理”，尽管量子力学的非定域性与相对 论的定域性之间的矛盾并未解决，量子测量的动力学（见§1.2）也还未搞清。 另一方面，更值得一提的是，量子信息学 (quantum information) 在近年来的迅猛发展，把量子纠缠 的研究提到了一个前所未有的高度，推到了一个崭新的阶段。一言以蔽之，量子纠缠是实现量子信息学 的各种功能（如量子计算 (quantun computing)，量子算法 (quantum algorithm)，量子远程传态 (quantum teleportation)，量子密码 (quantun cryptogram) 等等）的必不可少的“资源”，换句话说，量子纠缠是量 子信息学之区别于经典信息学的全部根源所在。所以，对这方面的发展给予适当的关心，对于更深入地 理解量子力学是有益的。 总而言之，量子力学是一门仍然在蓬勃发展中的，仍然有许多问题需要研究的学科。 作业：习题 8.10; 8.12