《电路理论基础》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 具有耦合电感的电路

第五章具有耦合电感的电路 互感电路:电感元件磁通链和感应电动势仅由线圈自身电流决定 一般称其为自感元件。如果线圈的磁通链和感应电动势还与邻近线 圈的电流有关,则线圈间存在互感或耦合电感( coupled inductor),有互感的两个(几个)线圈的电路模型称为互感元件, 其为双端口(多端口)元件。含有互感元件的电路称为互感电路。 第一节互感线圈的电路模型 2 互感线圈的伏安关系 在线圈N中通入交变电流产生1=L"+0+ 2、交变磁通部分或全部穿过线m2=,d/a4m2 的交变磁通,在本线圈感应电压 dt u (自感电压 eself induced voltage) 21 22 器N2在N2产生感应电压21(互感 dt 电压 mutual inductance voltage) u2 l L L2M21 3、在线圈N中通入交变电流 产生的交变磁通,在本线圈感 di L2 应电压(自感电压)。 dt

第五章 具有耦合电感的电路 互感电路：电感元件磁通链和感应电动势仅由线圈自身电流决定， 一般称其为自感元件。如果线圈的磁通链和感应电动势还与邻近线 圈的电流有关，则线圈间存在互感或耦合电感（coupled inductor） ，有互感的两个（几个）线圈的电路模型称为互感元件, 其为双端口（多端口）元件。含有互感元件的电路称为互感电路。 第一节 互感线圈的电路模型 1、在线圈N1中通入交变电流产生 的交变磁通，在本线圈感应电压 (自感电压self induced voltage)。 dt di uL L 1 1 = 1 2、交变磁通部分或全部穿过线 圈N2在N2产生感应电压u21 (互感 电压mutual inductance voltage) 1 i 11 − + L1 u − + 1 u − + uM 12 − + u2 − + uM 21 2 i 22 − + uL2 21 12 dt di uM M 1 21 = 21dt di uL L 2 2 = 2 3、在线圈N2中通入交变电流 产生的交变磁通，在本线圈感 应电压(自感电压)。 一、互感线圈的伏安关系 1 1' 2 2

4、交变磁通部分或全部穿过线圈N1WM2=, 12 在N产生感应电压u1n(互感电压) dt 5、当两个线圈中都有电流,因为「1=u1+u2L+兮 耦合电感线性且有M1=M2,所 dt dt 以各线圈电压为其自感电压和互2=12+m12=+ 感电压之和(电阻电压不计时) i 6.若线圈N2与线圈N的绕向不同“4=n+m=t=M 此山 或注入的电流的方向不同则有 l2=u12+uM21=L di m a 1 由上可见: ①线圈的自感电压、电流取关联方向自感系数为正。 ②而互感的正负则由产生互感的线圈电流(施感电流)及本线圈 的绕向共同决定。 ③实际的线圈是封闭的,很难判断其绕向,不易由磁通的方向确 定互感的方向。 通常在线圈的端子上标以星标“用以表示线圈的绕向。星 标的标法是:当两线圈的电流都从星标流入(流出)线圈时,两 线圈的磁通是加强的。带有星标的一对端子称为同名端

4、交变磁通部分或全部穿过线圈N1 1、互感元件的伏安关系 在N1产生感应电压u12 (互感电压) dt di uM M 2 12 = 12 5、当两个线圈中都有电流，因为 耦合电感线性且有M12=M21，所 以各线圈电压为其自感电压和互 感电压之和（电阻电压不计时） 6、若线圈N2与线圈N1的绕向不同 或注入的电流的方向不同则有： dt di M dt di u u u L dt di M dt di u u u L L M L M 2 1 2 2 21 1 2 1 1 12 = + = + = + = + dt di M dt di u u u L dt di M dt di u u u L L M L M 2 1 2 2 21 1 2 1 1 12 = + = − = + = − 通常在线圈的端子上标以星标“*”用以表示线圈的绕向。星 标的标法是：当两线圈的电流都从星标流入（流出）线圈时，两 线圈的磁通是加强的。带有星标的一对端子称为同名端。 由上可见： ①线圈的自感电压、电流取关联方向自感系数L为正。 ②而互感的正负则由产生互感的线圈电流（施感电流）及本线圈 的绕向共同决定。 ③实际的线圈是封闭的，很难判断其绕向，不易由磁通的方向确 定互感的方向

有了同名端后就可建立互感元件的电路模型。互感线圈模型如图。 建立模型时:自感电压的方向由自 身电压电流参考方向是否关联决定。 o 2 ++ M++ 互感电压方向则由自身参考方向与 2M21L22 施感电流的参考方向相对于同名端 L1M12 是否关联来决定。 如判断uM1(线圈在线圈中产生的互感电压)的向,则观察 到施感电流是从同名端流入的,则线圈同名端处为正 互感元件的VAR的相量形式 R R,I ioM 计电阻电压时) + U1=(R+Jal1tjoMl2 U, jaL U2=(R2+joL2)l2±joM1 例写出图示电路p0210 lo 2 2 021

有了同名端后就可建立互感元件的电路模型。互感线圈模型如图。 同名端 L2 M L1 * * − + 1 u − + M 12 u − + 2 u − + M 21 u 2 i − + L2 u 1 1' 2 2' 1 i − + L1 u 建立模型时：自感电压的方向由自 身电压电流参考方向是否关联决定。 互感电压方向则由自身参考方向与 施感电流的参考方向相对于同名端 是否关联来决定。 到施感电流 是从同名端流入的，则本线圈同名端处为正。 如判断 （线圈 在线圈 中产生的互感电压）的方向，则观察 2 1 2 2 1 i uM 7、互感元件的VAR的相量形式 (计电阻电压时) 1 1 1 1 2 U (R j L )I j MI  = +      2 2 2 2 1 U (R j L )I j MI  = +      * * − + U1  − + U2  2 I  1 1' 2 2' 1 I  L1 j L2 j jM 例:写出图示电路VAR L2 M L1 * * − + 1 u + − 2 u 2 i 1 1' 2 2' 1 i L2 M L1 * * + − 1 u − + 2 u 2 i 1 1' 2 2' 1 i R1 R2

互感元件的等效(互感消去法) 02 从互感元件的ⅤAR可以看出:有互感+ 的一个双端口(两线圈)元件,其互U1jioL1 SalZ U2 感电压用受控源(CCⅤS)表示后, 可变为没有互感的两个单口元件 U=(R+jOLI+joMI2 R R 02 U2=R2+jaL)12+jaMI 1、具有互感的两线圈串联 JOLI jOL ①顺接串联:电流从一个线圈的 异名端流出,从另一个线圈同名 JaMI jOMI 端流入。 L2=L1+L2+2M(加强) ②反接串联:电流从一个线 圈的同名端流出,从另一个U →>UL1+L1+2M 线圈同名端流入。 L2=L1+L2-2M(减弱

二、互感元件的等效(互感消去法) 从互感元件的VAR可以看出：有互感 的一个双端口（两线圈）元件，其互 感电压用受控源（CCVS）表示后， 可变为没有互感的两个单口元件。 * * − + U1  − + U2  2 I  1 1' 2 2' 1 I  L1 j L2 j jM − + U 2  2 I  2 2' L2 j 2 j MI   − + U1  1 1' 1 I  L1 j − + − + 1 j MI   R1 R2 1 1 1 1 2 U (R j L )I j MI  = +   +   2 2 2 2 1 U (R j L )I j MI  = +   +   1、具有互感的两线圈串联： ①顺接串联：电流从一个线圈的 异名端流出，从另一个线圈同名 端流入。 I  L2 M L1 * * − + U 1 1' I   （*） I  L1 +L1+2M − + U 1 1' I  ②反接串联：电流从一个线 圈的同名端流出，从另一个 线圈同名端流入。 2 ( ) Le = L1 + L2 + M 加强 2 ( ) Le = L1 + L2 − M 减弱 

2、具有互感的两线圈并联 ①同侧并联:同名端相接。 U=joL I+joM2 U=joM+joLly I=11+12 isio 44-M2 L+L-2M Ja LL-M eg L, +L,-2M ②异侧并联:异名端相接 joMi, joM L, L-M L1+L2+2M z.=22-n 若计线圈电阻则只有:_2+22z1 (其中Z1=R1+joL1,Z2=R2+joL2,ZMn=jaM

2、具有互感的两线圈并联 I  L2 M L1 * * − + U 1 1' L2 j 2 j MI   − + U 1 1' I  L1 j − + − + 1 j MI   1 I  2 I  1 1 2 U j L I j MI  =   +   1 2 2 U j MI j L I  =   +   1 2 I I I  =  +  L L M L L M j I U Zeq 1 2 2 2 1 2 + − − = =    ①同侧并联：同名端相接。 + − + L L M − L L M Leq 2 1 2 2 1 2 + − −  = ②异侧并联：异名端相接。 L L M L L M Leq 2 1 2 2 1 2 + + −  = ③若计线圈电阻则只有： M M eq Z Z Z Z Z Z Z 1 2 2 2 1 2 +  − = ( , , ) 其中Z1 = R1 + jL1 Z2 = R2 + jL2 ZM = jM  (*)

3、具有互感的两线圈三端接法:两线圈只有一个端子接在 起,其它各自引出,共三个端子与外电路相接。 ①同名端同侧相联 M 2 JOL L-M 3节点 新节点 jaMI jaMI M U13=JOL,I+joMI2 023=joMI,+jaL,I2 U13=jOL,+jaM(13-1=jo(L-M)I+jaMI3 U23=jaM(13-12)+jaL,12=joL-M)12+jaMl3 ②同名端异侧相联:等效电感M前的符号与同侧相联时相反 有互感的电路化为无互感的等效电路的方法称为互感消取法

3、具有互感的两线圈三端接法：两线圈只有一个端子接在一 起，其它各自引出，共三个端子与外电路相接。 ①同名端同侧相联 13 1 1 2 U j L I j MI  =   +   23 1 2 2 U j MI j L I  =   +   3 1 2 I I I  =  +  L2 j 2 j MI   1 3 I  L1 j − + − + 1 j MI   1 I  2 I  2 3 1 3 1 1 3 1 1 1 3 U j L I j M(I I ) j (L M)I j MI  =   +   −  =  −  +   2 3 3 2 2 2 2 2 3 U j M(I I ) j L I j (L M)I j MI  =   −  +   =  −  +   1 1 i L2 M L1 * * 2 i 2 3 3 i   ②同名端异侧相联：等效电感M前的符号与同侧相联时相反。 新节点 1 1 i 2 i 2 3 3 i L1 − M L2 − M M 3节点 有互感 的电路化为无互感 的等效电路的方法称为互感消取法

第二节具有耦合电感的正弦电路的分析 直接例写方程法 RL 1)支路法(如图) M L=+l 2 R+u LI +U, 2+R,I2=U S R33-j-l3-R2l2-U12=0 oc l,=I,+ R,+jO(L +M)1+R2+jo(L+M)l joM1-(R2+joL2)l2+(R3-j-)l3=0 2)回路法(如图) +B)+10+2+2M)1-+/o2+M)= 2+10+M)+(2+8)+1(a12-1)+2M)1=0

第二节 具有耦合电感的正弦电路的分析 1、直接例写方程法 1）支路法（如图） L1 − + US  2 I  1 I  * * R1 L2 R2 R3 C M 3 I  a 1 2 3 I I I  =  +  US R j L M I R j L M I + +  + + +  =  1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) L L US R I U U R I  +  +  +  =  1 1 1 2 2 2 0 1 3 3 − I3 − R2 I2 −UL2 = C R I j      ) 0 1 ( ) ( − 1 − 2 + 2 2 + 3 − I3 = C j MI R j L I R j       1 2 3 I I I  =  +   2）回路法（如图） 1 I  3 I      US R R j L L M I R j L M I + + + +  − + +  =  1 2 1 2 1 2 2 3 ( ) ( 2 ) ( )   ) 2 ) 0 1 ( ) ( ) ( 2 2 1 2 3 2 3 =       − + + + + + − + M I C R j L M I  R R j L    

2、受控源等效法 R R,+jOL, R2+joLy R3-]oc joMI jaMI, JoMIK R+JOL R,+ jal R2+jal, R Ua+jOM2+(r+JOLI=US U,-jaML +(R+joL,)12=0 IR 3、互感消取法(两线圈有公共节点) jO(L+M) a(L+M) R R+jo(L+M R2+jo(l +M R3-j(M+一) R+jo(L+M) 注意:在运用上述各种分析方法时不可将有互感的两线圈分开

2、受控源等效法 3、互感消取法(两线圈有公共节点) L1 j − + US  2 I  1 I  R1 L2 j R2 R3 C 3 I  a 2 j MI   + − − + 1 j MI   2 2 1 1 1 2 1 1 3 1 1 2 2 ) 1 1 1 1 ( R j L j MI R j L j MI R j L U U C R j R j L R j L S a         + + + − + = − + + + +     a US U j MI R j L I  +  + +  =  2 1 1 1  (  ) Ua − j MI1 + (R2 + j L2 )I2 = 0      ( ) j L1 + M − + US  2 I  1 I  R1 ( ) j L2 + M R2 R3 C 3 I  a' − jM ( ) ) ) 1 ( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ' 3 1 1 2 2 R j L M U U C R j M R j L M R j L M S a + + = − + + + + + + +        注意：在运用上述各种分析方法时不可将有互感的两线圈分开

在电工技术中,常常用两个或两个以上的有耦合的线圈构 成变压器( transformer),通过磁场的耦合达到能量从一个 线圈向另一个线圈的传递的功能。 空芯变压器:以空气或任何非铁磁物质做为芯子的变压器。其磁 变压 导率低,磁阻大,建立相同的磁通,需要的电流大,耦合系数小 但因其没有铁芯,不存在磁滞损耗,常用于高频电路中 铁芯变压器:以铁磁性物质做为芯子的变压器。一般工作在接 近饱和区,其磁导率高,磁阻小,建立相同的磁通,需要的电 流小。耦合系数大。实际屮得到广泛应用。 第三节空心变压器 、空芯变压器的伏安关系 变压器一般有两个线圈,与电源+0 相联的称为原线圈,与负载相联的 称为副线圈。原线圈引出端称为原0 边(初级),副线圈引出端称为副 边(次级),原边与副边没有电的 联系。其电路模型如图:

第三节 空心变压器 在电工技术中，常常用两个或两个以上的有耦合的线圈构 成变压器（transformer），通过磁场的耦合达到能量从一个 线圈向另一个线圈的传递的功能。 变 压 器 空芯变压器：以空气或任何非铁磁物质做为芯子的变压器。其磁 导率低，磁阻大，建立相同的磁通，需要的电流大，耦合系数小。 但因其没有铁芯，不存在磁滞损耗，常用于高频电路中。 铁芯变压器：以铁磁性物质做为芯子的变压器。一般工作在接 近饱和区，其磁导率高，磁阻小，建立相同的磁通，需要的电 流小。耦合系数大。实际中得到广泛应用。 1 i − + S u 1 1' 2 2' 2 i Zl 一、空 芯变压器的伏安关系 变压器一般有两个线圈，与电源 相联的称为原线圈，与负载相联的 称为副线圈。原线圈引出端称为原 边（初级），副线圈引出端称为副 边（次级），原边与副边没有电的 联系。其电路模型如图：

R,L1为原线圈的电阻和电感 2 R2L2为副线圈的电阻和电感 M为两线圈的互感, R R,X为负载的电阻和电抗。 列出原副边回路的电压方程: OL a ⅸX (R1+X L1)1 jXMI2=U1 还MJ2+(R2+2+R+N)l2=01 令Z1=R1+1(原边回路阻抗)Zn=內(互阻抗 0. 22 R2+R+j(X12+X)副边回路阻抗 refl 则有:2-2n=C1 2 ZI1+Z2,2=0 22 解得1:i 22 11-22 反映(引 2 X 2 入)阻抗 画出方程对应的原边敏电路如图其中 为副边阻抗通过互愿 M 为原边看进去的等效反映到原边的等效阻抗

第三节 空心变压器 * * − + U1  2 I  1 1' 2 2' 1 I  L1 j L2 j jM R1 R2 Rl l jX 为负载的电阻和电抗。 为两线圈的互感， 为副线圈的电阻和电感， 为原线圈的电阻和电感， Rl XL M R L R L , , , 2 2 1 1 列出原副边回路的电压方程： 1 1 1 2 1 (R + jXL )I  − jX M I  = U  − jX M I2 + (R2 + jXL2 + Rl + jXl )I2 = 0   , ( ) 令Z11 = R1 + jXL（原边回路阻抗） 1 ZM = jX M 互阻抗 ( )( ) Z22 = R2 + Rl + j XL2 + Xl 副边回路阻抗 1 22 2 0 11 1 2 1 − + = − = Z I Z I Z I Z I U M M      则有： 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 Z X Z U Z Z Z U Z Z Z U Z I M M M + = − = − =    解得1： − + U1  1 I  Z11 22 2 1 Z X Z M ref = 为原边看进去的等效阻抗 画出方程对应的原边等效电路如图其中 1 1 2 2 2 1 1 : I U Z X Z M   + = 反映到原边的等效阻抗 为副边阻抗通过互感 22 2 Z X M 反映（引 入）阻抗