上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT讲稿）第四章 随机变量的数字特征 §4.1随机变量的数学期望

第四章随机变量的数字特征

Ch4-1 第四章 随机变量的数字特征

Ch4 分布函数能完整地描述rⅴ的统 计特性,但实际应用中并不都需要知 道分布函数,而只需知道r.的某些 特征 例如 判断棉花质量时,既看纤维的平均长度 又要看纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;

Ch4-2 分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 例如：

Ch4 考察一射手的水平,既要看他的 平均环数是否高,还要看他弹着点的 范围是否小,即数据的波动是否小 由上面例子看到,与rv有关的 某些数值,虽不能完整地描述rⅴ但 能清晰地描述r在某些方面的重要 特征,这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义

Ch4-3 考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义

Ch4-4 随机变量某一方面的概率特性 都可用来描写 本(日xw的平均取值一数学期望 章arv取值平均偏离均值的情况 内 方差 衮口描述两r间的某种关系的数 协方差与相关系数

Ch4-4 ❑ r.v.的平均取值 —— 数学期望 ❑ r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 ❑ 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写

Ch4-5 54随机变量的数学期望 引例学生甲乙参加数学竞赛观察其胜负 初复决 成算术加权平均 赛赛赛绩平均34135226 甲9085532287673.7K700668 乙880572257573.270.167.8 胜者甲甲乙甲甲甲乙乙

Ch4-5 §4.1随机变量的数学期望 初 加 权 平 均 赛 复 赛 决 赛 总 成 绩 算术 平均 甲 乙 90 85 53 228 76 88 80 57 225 75 胜者 甲 甲 乙 甲 甲 3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙 引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负

Ch4-6 称 2=90×02+8503+805 70.0 为这3个数字的加权平均 数学期望的概念源于此

Ch4-6 = 70.0 为这 3 个数字的加权平均 90 0.2 85 0.3 53 0.5 3 1  =  +  +  i= i i x p 称 数学期望的概念源于此

Ch4 数学期望的定义 设X为离散rv.其分布为 P(X=x1)=Pk,k=1,2, 若无穷级数∑xkPk绝对收敛,则称 其和为X的数学期望记作E(X),即 E(X)=∑xPk

Ch4-7 设 X 为离散 r.v. 其分布为 P(X = xk ) = pk , k =1,2,  若无穷级数  + k=1 k pk x 其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即  + = = 1 ( ) k k k E X x p 数学期望的定义 绝对收敛, 则称

Ch4-8 定义设连续rwX的df为 若广义积分 xf(x)dx 绝对收敛,则称此积分为ⅹ的数学期望 记作E(X,即 ++oO E(X)= xf(x)dx 数学期望的本质—加权平均 它是一个数不再是r.v

Ch4-8 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x) 若广义积分  + − xf (x)dx 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即  + − E(X ) = xf (x)dx 数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是 r.v. 定义

Ch4-9 例1X~B(n,p),求E(X) 解E(X)=∑kCp(1-p)k k=0 (k-1)(n-)P(1-D)(n1)(k-) np (n-1) 2∑Cn1p(1-p)n=mp 特例若Y~B(1,P),则E(Y=p

Ch4-9 例1 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 = − = − n k k k n k n E X kC p p 0 ( ) (1 ) = − − − − − − − − = n k k n k p p k n k n np 1 1 ( 1) ( 1) (1 ) ( 1)!( )! ( 1)!  − = − − = − − 1 0 ( 1) 1 (1 ) n k k k n k n np C p p = np 特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y) = p

Ch4-10 例2X~N(p,a2),求E(X) 解E(X)=x 已 2 20 x-p +oO (+1),-=e2dh 2丌 例3设X~参数为p的几何分布,求E(X 解(x)=4-p+=(∑k x=l-p k P P x=1-p

Ch4-10 例2 X ~ N (  ,  2 ), 求 E ( X ) . 解 E X x e dx x 2 2 2 ( ) 2 1 ( )    − + − − =  u e du u u x 2 2 2 + 1 − − = −  = +       （ ） 令 =  例3 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求E ( X ). 解  + = − = − 1 1 ( ) (1 ) k k E X kp p k x p k p kx = − + = −       =  1 1 1 x p k k p x = − + =       =  1 ' 1 x p p x p 1 (1 ) 1 1 2 = − = = −