《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_41欧氏空间

第4章矩阵相似对角化

第4章 矩阵相似对角化

4.1欧氏空间R"(（加法，数乘，尚积三种运算） 定义了尚积适算的n雅实向量空间 二、三维向量长度√2+2，√2+y2+z,推广 ☑++.+a品为此引入 、向量内积 b L.定义在Rn中，设向量o&= ,称 b+4,b2+.+0,bn=∑0b,为向量Q与B的内积， 记：(oa,B)或a阝

一、向量内积 4.1 欧氏空间Rn ——定义了内积运算的n维实向量空间 二、三维向量长度 , ，推广: 2 2 x y + 2 2 2 x y z + + 2 2 2 a a a 1 2 + + + n 为此引入: 1.定义 在Rn中, 设向量  ， ，称       =       1 2 n a a a        =       1 2 n b b b = 1 1 2 2 + + + =  1 n n n i i i a b a b a b a b 为向量  与  的内积, 记: ( , )     或 T (加法,数乘,内积三种运算)

例1设o=(4,2,3,1)',B=(2,6,4,3)求(Q,B) 2 解 0,B)=(42,-3,10 6 =4X2+2×6+(3)X4+1X3 4 3 =11 例2设&=(1,1，.，1)，a=(a,a2,.,4n)}求(a,8) 解(a,8）=41+u2+.+am∑4 i=1 2.性质：(1)对称性(aB)=(B,a） (2)线性性(a+B,Y)=(a,Y）+(B,Y） (ka,B)=k(a,B) 3)正定性(@，a)=d+d++d≥0 且(a,a)）=0台a=0

2.性质：(1)对称性 ( , ) ( , )     = ( , ) k  = ( , )    + = ( , )   = 且( , )    =  = 0 o 例2 设 ( , , , ) , ( , , , ) ，求 T T a a an   = = 1 1 1 1 2 ( , )   解 ( , )   = a a a 1 2 + + + n n i i a = =  1 k( , )   ( , ) ( , )     + a a a + + + n 2 2 2 1 2 ≥ 0 (2)线性性 (3)正定性 例1 设   = − = ( , , , ) , ( , , , ) 4 2 3 1 2 6 4 3 ，求 T T ( , )   解 ( , )   = ( , , , )     −           2 6 4 2 3 1 4 3 =4×2+2×6+(-3)×4+1×3 =11

二、向量长度 1.定义R中向量Q=(a1,42,.,4n)的长度定义为 =(@,)=√d+G+.+;也称为向量范数 长度为1的向量称为单位向量.例：6=1 2.性质 (1)a0且a=0→a=o (2)kaa (kER) 注：任一非零向量均可单位化 a≠o,a°=8为单位向量a ai lal-D

二、向量长度 1.定义 Rn中向量 ( , , , ) 的长度定义为 T  = a a a 1 2 n = = + + + ( , ) 2 2 2    a a a 1 2 n ;也称为向量范数. 长度为1的向量称为单位向量. 例: 2.性质 (1)   0 且   =  = 0 o k k R  =  k   ( ) 注: 任一非零向量均可单位化——   o,  =    为单位向量. (  = =    (2)  j = 1  = ) 1  1 

3)a,psap即：2a,b sv-v 柯西一布涅可夫斯基不等式) 且(aB)=dB台o与B线性相关 证：1)o与B线性相关台B=k,k∈R (a,B)=(a,ka)=kaa ka =a B 2)0与B线性无关a≠0，B≠0，Vk∈R,a+kB≠o a+kB2=(a+kB,a+kB)=a2+2k(a.B)+k2B2 (a,B) B 选取适当的k,使该式值为0， 即证得不等式

( , )       n n n i i i i i i i a b a b = = =      2 2 1 1 1 (3) 即: (柯西－布涅可夫斯基不等式) 且 ( , )       =   与 线性相关 证: 1)   与 线性相关  =   k k R ,  = ( , )   ( , )  k = 2 k  =   k =      2   + = k 2) 与 线性无关        + o o R k , ; , k  o ( , )     + + = k k 2 2 2     + + 2 ( , ) k k 2 2 2 2 ( , ) ( , ) = + + − ( ) k         >0 选取适当的k，使该式值为0, 即证得不等式

三、向量的夹角与向量正交 夹角 L.定义R中向量a与B c0s0= (a,B) 夹角的余弦定义为 a-B (adβ≠0) 若a,B)=0,称向量a与P互相正交 2.性质（)零向量与任何向量正交. (2)a与a正交→a=0 3)Va,B∈R",a+d+B(三角不等式) 且a+p=a+p台a与f互相正交肉殷定理 证：a+阝-(a+p,w+B)=(a,)+2(a,B)+(B,P) ≤a+2ap+p-(a+} a+a+p咀a+=+B⊙o与B线性相关 而a+β=a+β分a与B互相正交

(三角不等式) 1.定义 三、向量的夹角与向量正交 夹角 若 ( , )   = 0 ，称向量   与 互相正交 2.性质 (1) 零向量与任何向量正交. (2)   与 正交  =  o , , n   +  +       R 且 2 2 2     + = + 与 互相正交 证： + = + + ( , ) 2       = + + ( , ) ( , ) ( , )       2  +  + 2 2     2 = + ( )2    +  +     (勾股定理) (3) 而 2 2 2     + = + 与 互相正交    ( , ) cos ( 0)        =      夹角的余弦定义为 Rn中向量 与    且       + = +  与 线性相关

例3P112例4-1)设a=(2,1,3,2),B=(1,2,-2,10) 1)求，B，并使向量a和B单位化 (2)求(a,B)及(a+B,a-B)；3)求cos(a,B及a+B (4求验证满足Cauchyz不等式和三角不等式. 解(ad-√(a,)=√22+12+32+22=3√2 B=V(p,)=V1+22+(2)}2+1=√10 a322,13,2)=(Y5,222 6’2’3 B √10√10 B 而22)-(m0 10,5,510

例3(P112 例4-1) 设   = = − (2,1,3,2), (1,2, 2,1) 解 (1) (1)求  , ，并使向量   和 单位化; (2)求 ( , )   及 ( , )     + − ; (3)求 cos( , )   及   + (4)求验证满足Cauchy不等式和三角不等式. = = + + + = ( , ) 2 2 2 2    2 1 3 2 3 2 = = + + − + = ( , ) ( ) 2 2 2 2    1 2 2 1 10 ( , , , ) ( , , , )  = = = 1 2 2 2 2 2 1 3 2 3 2 3 6 2 3    ( , , , ) ( , , , )  = = − = − 1 10 10 10 10 1 2 2 1 10 10 5 5 10   

2 2)(a,B)=0=(2,1,3,2） a+B=(3,31,3),a-B=（1,-1510 (a+B,a-B)=3-3+5+3=8 (3)cos(a.B)B) =0 allBl a+f√(@+B,a+B)=V32+32+1+32=√28 (4)Cauchy7不等式成立：0≤√18.√10=√180 三角不等式成立：√28≤√18+√10(28≤28+2W180)

(2) cos( , )     + (4)Cauchy不等式成立: = + + = + + + = ( , ) 2 2 2 2     3 3 1 3 28 0 18 10 180   = ( , ) T    =     + = − = − ( , , , ), ( , , , ) 3 3 1 3 1 1 5 1     =     −       1 2 (2,1,3,2) 2 1 =0 ( , )     + − =3-3+5+3=8 ( , )     (3) = =0 三角不等式成立: 28 18 10 28 28 2 180  +  + ( )

四、标准正交基 例：(1,0,0)T,0,1,0),(0,0,1) 1.定义R中两两正交的不含零向量的向量组称为 正交向量组；单位向量组成的正交向量组称为标准 正交向量组一组基中的向量两两正交，称为正交基； 正交基中每个向量都是单位向量，称为标准正交基 标准正交基满足 ,Q4）=O (i,j=1,2,S 0i≠i 2.定理正交向量组线性无关 证：设0必1,02，·，0，为正交向量组 设k1C必1+k2C2+.+k,0c=0(向量零) 两端与Q求内积得(a,a)+.+k,(@,a,)=0(数零) '(@a,a)=0(i+j.k,(a,)=0-a,≠0→(0,0>0 k=0i=1,2,.,S）.0必1，C2,.,0线性无关

( , ) 1 0 i j ij i j i j     = = =    证：设    1 2 , , , s 为正交向量组 设 k k k o 1 1 2 2    + + + = s s (向量零) 两端与 求内积得 ( , ) ( , ) 1 1 0 i s i s  i k k     + + = ( , ) ( ) 0 i j   = i j ( , ) 0 iii  = k   i   o ( , ) 0    i i 0 1 2 ( , , , ) i  = = k i s , , ,    1 2 s线性无关. 四、标准正交基 例:(1,0,0)T , (0,1,0)T , (0,0,1)T 1.定义 Rn中两两正交的不含零向量的向量组称为 正交向量组;单位向量组成的正交向量组称为标准 正交向量组;一组基中的向量两两正交,称为正交基; 正交基中每个向量都是单位向量,称为标准正交基. 标准正交基满足 (i, j＝1,2,.,s) 2.定理 正交向量组线性无关 (数零)

标准正交基即个向量构成的单位正交向量组 3.求法化R的一组基为标准正交基：1)正交化2)单位化 由Rn中任一线性无关向量组2y1,Qm可生成等价 的正交向量组乃，.， 施密特正交化方法： B1=0凶1 B2=02 (a2,B】 (P,B) (a3,B) BB. (B,B) (B2,B2) ●●● Bm=am- (am,m】 (B,f) (B2,B2) (B1Bm-) m- 即A=4,A=-} B,(k=2,3,m）

标准正交基即n个向量构成的单位正交向量组 由Rn中任一线性无关向量组 可生成等价 的正交向量组 , ,   1 m , ,   1 m ——施密特正交化方法：   1 1 = ( , ) ( , ) 2 1 2 2 1 1 1        = − ( , ) ( , ) 3 1 3 3 1 1 1        = − − ( , ) ( , ) 1 1 1 1 m m m        = − 即   k k = − 3.求法化Rn的一组基为标准正交基:1)正交化 2)单位化 . ,   1 1 = ( , ) ( , ) 3 2 2 2 2      ( , ) ( , ) 2 2 2 2   m    − − − ( , ) ( , ) 1 1 1 1 m m m m m      − − − − (k＝2,3,.,m) 1 1 k i i  − =  ( , ) ( , ) k i i i    