《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_42特征向量

复习： 内积性质：1)对称性(a,阝)=（阝，a) 2)线性性(a+B,Y）=(a,y）+(B,Y） (ka,B)=k(a,B) 3)正定性(a,)=++.+d≥0 且(a,a）=0台a=0 长度性质：)a20且a=0台a=o (2)ka=ka(kER) q 3)非零向量单位化 (4)(a,B)≤aB即：

内积性质:(1)对称性 ( , ) ( , )     = ( , ) k  = ( , )    + = ( , )   = 且 ( , )    =  = 0 o k( , )   ( , ) ( , )     + a a a + + + n 2 2 2 1 2 ≥ 0 (2)线性性 (3)正定性 复习： 长度性质:(1)   0 且   =  = 0 o k k R  =  k   ( ) (3)非零向量单位化—— ( )     o (2) n n n i i i i i i i a b a b = = =      2 2 1 1 1 (4) ( , )       即:

向量正交结论)零向量与任何向量正交 (2)a与a正交→0=o 3)Vx,B∈R",a+Ba+B(三角不等式) 且a+a@p→a与B线性相关 而a+p=a+p台a与B互相正交沟殿定理 (④)定理正交向量组线性无关 化R的一组基为标准正交基：1)正交化2)单位化 施密特正交化方法： 阝1=0必，f=0- (k=2,3,m)

(三角不等式) 向量正交结论 (1) , , n   +  +       R 而 2 2 2     + = +    与 互相正交(勾股定理) 且       + = +  与 线性相关 (4)定理 正交向量组线性无关 化Rn的一组基为标准正交基：1)正交化 2)单位化   1 1 = ,   k k = − (k＝2,3,.,m) 1 1 k i i  − =  ( , ) ( , ) k i i i     零向量与任何向量正交. (2)   与 正交  =  o (3) 施密特正交化方法：

正交矩阵定义：QQ=E 正交矩阵性质设P、Q为正交矩阵，则 02=1或-1 (2)Q-=Q” 3)2-1=Q及PQ为正交矩阵 定理设Q是n阶实方阵，则 Q是正交矩阵→Q的列向量组为R的一组标准正交基 (行) (判断正交矩阵QTQ=E或检查列向量组 均单位向量 两两正交

正交矩阵定义：QTQ＝E 正交矩阵性质 设P、Q为正交矩阵，则 (1) Q = − 1 1 或 (3)Q－1=QT及PQ为正交矩阵 (2) Q－1=QT 定理 设Q是n阶实方阵，则 Q是正交矩阵  Q的列向量组为Rn的一组标准正交基 (行) (判断正交矩阵: 均单位向量 两两正交 QTQ=E或检查列向量组 )

4.2方阵的特征值与特征向量 一、概念 1.定义设A×m,若存在数2，和非零向量X使得 AX=人X 称2为A的一个特征值，X为A的与孔。对应的特征向 量：无论入取何值，方程4=几，X均有零解；若 仅有零解，则该人不是特征值；求特征值即求使 方程AX=人，X有非零解的入， (此时必有 九为A的特征值⊙AX=几X有非零解 无穷多解 (特征根)台（几，E-A)X=O有非零解 台，E-小=0即叫是n次方程 2E-A=0的根

4.2 方阵的特征值与特征向量 一、概念 0 注：无论 取何值，方程 均有零解；若 仅有零解, 则该 不是特征值；求特征值即求使 方程 有非零解的—— 0 0 AX X = 0 AX X = 0 0 为A的特征值  = AX X 0 有非零解  − = ( ) 0 E A X O 有非零解  − = 0 E A 0 (特征根) ——即 0 是n次方程 E A− = 0 的根 (此时必有 无穷多解!) 1.定义 设An×n ,若存在数 0 和非零向量X, 使得 AX X = 0 0 称 0 为A的一个特征值,X为A的与 对应的特征向 量

2.定义 入E-A 一A的特征矩阵 设4nxm,则称f(2)九E-A A的特征多项式 2E-A=0 A的特征方程n次J 二、计算 1.求特征值，即求特征 2-11 一2 方程2E-A=0的根 -22 =0 (n次方程，在复数域 内有n个根) 2特征向量与特征值相对应，求特征向量必须先求 特征值，再将它代入齐次线性方程组(，E-A)X=O 求出所有非零解必存在！用基础解系线性表示) 相关加积：行刊式计并；求齐线性方程组基础蕲乐

2.定义 E A− ——A的特征矩阵 f E A ( )   = − ——A的特征多项式 E A− = 0——A的特征方程 (n次!) 设An×n ,则称 二、计算 1.求特征值，即求特征 方程 的根. (n次方程, 在复数域 内有n个根) 2.特征向量与特征值相对应, 求特征向量必须先求 特征值, 再将它代入齐次线性方程组 求出所有非零解(必存在！用基础解系线性表示.) E A− = 0 ( ) 0 E A X O − = n n n n nn a a a a a a a a a    − − − − − − = − − − 11 12 1 21 22 2 1 2 0 相关知识:行列式计算;求齐次线性方程组基础解系

作业步骤！ 例1求矩阵A= 2 -2 的特征值和特征向量 -2 -2 -1 -2 2 ⑦-3九-3) 0 解 E-A 2 -1 -2 λ-1 2 2 入-1 0 九+1人+1 =(2-3)(2-1)(2+1) 饯 ·A的特征值为2=山，2，=1，招3 0 对人=1，齐次线性方程组(=E4=0估素数矩阵 -2 -2 2 -E-A) -2 0 0 2 2 0 00

例1 求矩阵 的特征值和特征向量 1 2 2 作业步骤! 2 1 2 2 2 1 A     = −       − − 解 1 2 2 2 1 2 2 2 1 E A     − − − − = − − − 3 3 0 2 1 2 0 1 1      − − = − − + + = − − + ( 3)( 1)( 1)    + − + 2( 3)( 1)   − − + 2( 3)( 1)   3 0 0 2 1 2 0 1 1     − − + + + 或 ∴A的特征值为    1 2 3 = − = = 1, 1, 3 对 1 = −1 ,齐次线性方程组(－E－A)X＝O的系数矩阵 (－E－A)＝ 222 2 2 2 2 2 2   −−−     − − →     − 1 1 1 0 0 4 0 0 4       →     − 1 1 0 0 0 1 000          

X1=一X2 x3三0 令x2=1得基础解系：X1=(1,一1,0)T .A的属于特征值一1的全部特征向量为 k1,一1,0)(k0) 对入，2=1，齐次线性方程组(E一A)X=O的系数矩阵 -2 (E一A三 -2 2 K二6令x,=一1得基础解系：X=(（山，-1，Y X3三二X2 ,'.A的属于特征值1的全部特征向量为 2025/4/6 k1,-1,1)r(k20)

2025/4/6 ∴A的属于特征值－1的全部特征向量为 x3 ＝0 ∴ x1 ＝－x2 令x2 ＝1得基础解系: X1 ＝(1,－1,0)T k1 (1,－1,0)T (k1≠0) 对 2 = 1 ,齐次线性方程组(E－A)X＝O的系数矩阵 (E－A)＝ 0 2 2 2 0 2 2 2 0   − −     − →     1 1 0 0 1 1 022       →     1 1 0 0 1 1 000           ∴A的属于特征值1的全部特征向量为 x3 ＝－x2 ∴ x1 ＝－x2 令x2 ＝－1得基础解系: X2 ＝(1,－1,1)T k2 (1,－1,1)T (k2≠0)

对2=3，齐次线性方程组(3E一A)X=O的系数矩阵 2 -2-2 10 3E-A) -22 22 2 00 x1=0 令3=1得基础解系：X=(0,一1，山)7 X2三二X3 ∴·A的属于特征值3的全部特征向量为 k(0,一1,1)T(k30)

对 3 = 3 ,齐次线性方程组(3E－A)X＝O的系数矩阵 (3E－A)＝ 2 2 2 2 2 2 222   − −     − →     1 1 1 0 0 0 0 4 4   − −     →     1 0 0 0 1 1 000           ∴A的属于特征值3的全部特征向量为 x2 ＝－x3 x1 ＝0 ∴ 令x3 ＝1得基础解系: X3 ＝(0,－1,1)T k3 (0,－1,1)T (k3≠0)

-33 例2求矩阵A= 3-53 的特征值和特征向量 -64 P124例4-9) -1 3 解 4+2-λ-2 E-A▣ -3λ+5 -3 λ+5 -3 -6 6 -4 6 λ-4 九+2 0 0 -3 九+2-3 =(2+2)2(2-4) =6 0 -4 .A的特征值为九=入2=一2，入=4

例2 求矩阵 的特征值和特征向量 1 3 3 3 5 3 6 6 4 A   −   = −       − (P124 例4－9) 解     1 3 3 3 5 3 6 6 4 E A − − − = − + − − −     2 2 0 3 5 3 6 6 4 + − − = − + − − −   2 = + − ( 2) ( 4) ∴A的特征值为    1 2 3 = = − = 2, 4    2 0 0 3 2 3 6 0 4 + = − + − − −

对入=儿=-2， 齐次线性方程组（一2E一A)X=O系数矩阵 -33 -3 (=2E=A= -33-3 -66-6 x=x2-53令 分别为 得基础解系： X=(1,1,0),X2=(-1,01)Y .A的属于特征值一2的全部特征向量为 k(1,1,0)T+k2(一1,0,1)T(k1、k2不全为0)

对   1 2 = = −2 ， (－2E－A)＝ 3 3 3 3 3 3 6 6 6   − −     − − →     − − 1 1 1 000 000   −         ∴A的属于特征值－2的全部特征向量为 ∴x1 ＝x2－x3 X1 ＝ (1,1,0) T ， k1 (1,1,0) T＋k2 (－1,0,1) T (k1、k2不全为0)       2 3 x x 分别为 ,             1 0 0 1 令 得基础解系: X2 ＝(－1,0,1) T 齐次线性方程组(－2E－A)X＝O系数矩阵