上海交通大学：《基本电路理论》第七章 正弦稳态分析 7.1 正弦量和相量

第七章正弦稳态分析 上海交通大本科学课程 2003年9月

第七章 正弦稳态分析 上海交通大学本科学位课程 2003年9月

在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理 论中的重要课题,这是因为正弦信号比较容 易产生和获得,在科学研究和工程技术中 许多电气设备和仪器都是以正弦浪为基本信 号的。 根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论, 周期信号都能够分解为一系列正弦信号的迭 加。利用线性电路的迭加性,可以把正弦稳 态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的 线性电路中去。因此也可以说,知道了正弦 稳态响应后,原则上就知道了任何周期信号 激励下的响应

在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理 论中的重要课题，这是因为正弦信号比较容 易产生和获得，在科学研究和工程技术中， 许多电气设备和仪器都是以正弦波为基本信 号的。 根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论， 周期信号都能够分解为一系列正弦信号的迭 加。利用线性电路的迭加性，可以把正弦稳 态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的 线性电路中去。因此也可以说，知道了正弦 稳态响应后，原则上就知道了任何周期信号 激励下的响应

正弦量和相量 随时间按正弦规律变化的 Am sin(at+o) 电压和电流,称正弦电压4 和正弦电流。 y(t=Amsin(ot+o) n最大值,角频率,o初相位,O (-180<q<1809 最大值,角频率,初相位为正弦量的三要素。 三要素确定后,正弦量就被唯一确定。 若正弦量为电流(t),则(t)= Im sin(ot)其中m是 正弦电流最大值,l正弦电流有效值

正弦量和相量 随时间按正弦规律变化的 电压和电流，称正弦电压 和正弦电流。 0 t   sin( ) A t m  + A m y(t)=Amsin(t+) Am最大值，角频率，初相位, (-180＜＜180) 若正弦量为电流i(t)，则i(t)=Imsin(t+)其中Im是 正弦电流最大值，I是正弦电流有效值。 最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。 三要素确定后，正弦量就被唯一确定

有效值也称均方根值,即 有效值 =0.7071 以上情况同样适合于正弦电压 v(t)=Vm sin(at+)=2v sin(ot+) 0.707 实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都 是有效值,包括交流电机和电器上的铭牌

有效值也称均方根值，即 ( ) 2 0 1 T I i t dt T =  以上情况同样适合于正弦电压 ( ) sin( ) 2 sin( ) m v t V t V t = + = +     ( ) 2 0 1 T V v t dt T =  实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都 是有效值，包括交流电机和电器上的铭牌。 有效值 0.707 2 m m I I I = = 0.707 2 m m V V V = =

正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平 均值,或者说其正半波的平均值。 2. sin tatt Ⅰ=0.6371 2 其中 L sino=i(为正弦电流,对电压也同样适用。 平均值=21n=06377有效值大于其平均值 根据欧拉公式 cos 0+isin 当0是的函数时,正弦量 Am sin(ot+q)可用复值函 数来表示 1, sin(ot+)=Im(Am/tp))=Im(amee)=Im(Am, e/o)

正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平 均值，或者说其正半波的平均值。 2 0 2 sin 0.637 2 T a m m m I I tdt I I T  = = =   其中Imsint= i(t)为正弦电流，对电压也同样适用。 平均值 2 0.637 a m m I I I  = = 有效值大于其平均值 根据欧拉公式 cos sin j e j  = +   当是t的函数时，正弦量Amsin(t+)可用复值函 数来表示 。 ( ) sin( ) Im( ) Im( ) Im( ) j t j j t j t A t A e A e e A e m m m m        + + = = =

am sin(ot +)=Im(Am, e/( on+9)=Im(Am e/elon )=Im(Am, eJor) 其中A会Ae是t=0时的复值常数,称相量 Ae称旋转相量,em称旋转因子 相量可表示为An=Ane=An∠ 作为复数,相量又常用s复平面上的有向线段 表示。这样的图称相量图。 设 e , Jp1 m1 m2 1=(2 同相

其中 ( ) sin( ) Im( ) Im( ) Im( ) j t j j t j t A t A e A e e A e m m m m        + + = = = j A A e m m  是t=0时的复值常数，称相量 A e m j t  称旋转相量， e j t  称旋转因子 相量可表示为 j A A e A m m m  = =  作为复数，相量又常用s复平面上的有向线段 表示。这样的图称相量图。 设 1 1 1 j A A e m m  = 2 2 2 j A A e m m  = 且 Am1=Am2=Am，1=2 同相 A m1 A m2  + j0 +1

1→(2 A超前An2角度 A2落后M0角度 6 0=90 A,=Ae%=a e/2+90 e190° Ane"(c0s90°+jsin90°) e iAm 个相量乘一个,向逆时针方向旋转90°,乘一个j 向顺时针方向旋转90°,所以称j=e90°旋转因子

1＞2 A m1  A m2 + j0 +1 A m1 超前 A m2 角度 A m2 落后 A m1 角度 =90 1 2 2 2 2 ( 90 ) 1 90 2 (cos90 sin 90 ) j j m m m j j j m m j m m A A e A e A e e A e j jA e j A      + = = = = + = = 2 1 1 1 A A A m m m j = = − 一个相量乘一个j，向逆时针方向旋转90 ，乘一个 -j， 向顺时针方向旋转90 ，所以称 j90 j e = 90旋转因子 A m1  A m2 + j0 +1

旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系 sin(at+o)Im(am. coS(at+o) Re(ame/o) 2F=F

旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系 sin( ) Im( ) j t A t A e m m   +  + j 0 +1 2 t  F • 2 F F m • • = 0 2 t 2 t f t( ) cos( ) Re( ) j t A t A e m m   + 

根据数学知识,任意个相同频率的正弦量的代 数和这些正弦量的任意阶导数的代数和,仍然 是同频率的正弦量。因此,相量A=A1e 完全用来表示和反应已知频率下的正弦量。但 相量并不等于正弦量,只有旋转相量才和正弦 量有一一对应关系。 A也称最大值相量。因为最大值与有效值A之 间的关系A=√2 1 sin(at+)=v2 Asin(at+) =lm(2Aeo)=lm(√2Ae) 其中A全Ae称有效值相量,且A=√A

根据数学知识，任意个相同频率的正弦量的代 数和这些正弦量的任意阶导数的代数和，仍然 是同频率的正弦量。因此，相量 j A A e m m  = 完全用来表示和反应已知频率下的正弦量。但 相量并不等于正弦量，只有旋转相量才和正弦 量有一一对应关系。 A m 也称最大值相量。因为最大值与有效值A之 间的关系 2 A A m = ( ) sin( ) 2 sin( ) Im( 2 ) Im( 2 ) m j t j t A t A t Ae A e        + + = + = = 其中 j A Ae  称有效值相量，且 2 A A m =

正弦量与相量间属一种变换,称相量法变换phj。 相量法变换ph为已知正弦量变换成相量。 philA sin(at+o)l= philv2Asin(ot+=AZ Am,= phil Am, sin(at +o=AmLo 相量法反变换ph1为已知相量,变换成正弦量。 2Asin(at+)=A sin(at +o)=phi [A]=phj ALp1 A sin(at +p)=p [A]=p[An∠g]

正弦量与相量间属一种变换，称相量法变换phj。 相量法变换phj为已知正弦量变换成相量。 [ sin( )] [ 2 sin( )] A phj A t phj A t A = + = + =  m      [ sin( )] A phj A t A m m m = + =     相量法反变换phj-1为已知相量，变换成正弦量。 1 1 2 sin( ) sin( ) [ ] [ ] A t A t phj A phj A      m − − + = + = =  1 1 sin( ) [ ] [ ] A t phj A phj A m m m    − − + = = 