上海交通大学：《随机模拟方法与应用 Stochastic Simulation Methods and Its Applications》课程PPT教学课件（matlab）第8章 MATLAB数值积分与微分

第8章MATLAB数值积分与微分 8.1数值积分 8.2数值微分

第8章 MATLAB数值积分与微分 8.1 数值积分 8.2 数值微分

8.1数值积分 8.1.1数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单 的梯形法、辛普生(Simpson),法、牛顿 柯特斯Newton-Cotes)法等都是经常采用的 方法。它们的基本思想都是将整个积分区 间[a,b分成n个子区间[tl=l,2, 基中x,出b。这样求是积分间题就分 解为求和问题

8.1 数值积分 8.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单 的梯形法、辛普生(Simpson) 法、牛顿－ 柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的 方法。它们的基本思想都是将整个积分区 间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n， 其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分 解为求和问题

8.1.2数值积分的实现方法 1.变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来 求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下 限和上限。o用来控制积分精度，缺省时取 tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非 0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取 trace-=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的 调用次数

8.1.2 数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来 求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fname' ,a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下 限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取 tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非 0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取 trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的 调用次数

例8-1求定积分。 (1)建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f-exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2)调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S= 0.9008 n= 77

例8-1 求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x). *sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('fesin' ,0,3*pi) S = 0.9008 n = 77

2.牛顿一柯特斯法 基于牛顿一柯特斯法，MATLAB给出了 quad8函数来求定积分。该函数的调用格式 为： [I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，，只是ol的 缺省值取10-6。 该函数可以更精确地求出 定积分的值，且一般情况下函数调角的步 数明显小于quad函数，从而保证能以更高 的效率求出所需的定积分值

2．牛顿－柯特斯法 基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了 quad8函数来求定积分。该函数的调用格式 为： [I,n]=quad8('fname' ,a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的 缺省值取10-6。 该函数可以更精确地求出 定积分的值，且一般情况下函数调用的步 数明显小于quad函数，从而保证能以更高 的效率求出所需的定积分值

例8-2求定积分。 (1)被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2)调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi) I 三 2.4674

例8-2 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x. *sin(x)./(1+cos(x). *cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx' ,0,pi) I = 2.4674

例8-3分别用quad函数和quad8函数求定积分的近 似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用 次数。 调用函数quad求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)); [L,n=quad(f,1,2.5,1e-10) I= 0.28579444254766 n= 65

例8-3 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近 似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用 次数。 调用函数quad求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254766 n = 65

调用函数quad8求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)); [L,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I= 0.28579444254754 n= 33

调用函数quad8求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254754 n = 33

3.被积函数由一个表格定义 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分 问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系 Y=fX)。 例8-4用trapzi函数计算定积分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans 0.28579682416393

3．被积函数由一个表格定义 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分 问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系 Y=f(X)。 例8-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans = 0.28579682416393

8.1.3二重定积分的数值求解 使用MATLAB提供的dblquad函数 就可以直接求出上述二重定积分的 数值解。该函数的调用格式为： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在a,b]X[c,d区域上 的二重定积分。参数tol,tracel的 用法与函数quad完全相同

8.1.3 二重定积分的数值求解 使用MATLAB提供的dblquad函数 就可以直接求出上述二重定积分的 数值解。该函数的调用格式为： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上 的二重定积分。参数tol，trace的 用法与函数quad完全相同