厦门大学经济学院：《经济学》第十三章 期权的定价

第十三章期权的定价 第一节期权价格的特性 内在价值和时间价值 期权价格等于期权的内在价值加上时间价值 (一)期权的内在价值 期权的内在价值( Intrinsic value)是指多方行使期权 时可以获得的收益的现值 欧式看涨期权的内在价值为(SτX)的现值。无收益资 欧式看涨期权的内在价值等于S-Xer,而有收益资产 欧式看涨期权的内在价值等于S-D-Xe(I 无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格, 其内在价值也就等于S-Xer(。有收益资产美式看涨期 权的内在价值也等于S-D-Xe(TD。 Copyright oZhenlong Zheng2003, Department of finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University 第十三章 期权的定价 第一节 期权价格的特性 一、 内在价值和时间价值 • 期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。 （一）期权的内在价值 • 期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行使期权 时可以获得的收益的现值。 • 欧式看涨期权的内在价值为(ST -X)的现值。无收益资产 欧式看涨期权的内在价值等于S-Xe-r(T-t) , 而有收益资产 欧式看涨期权的内在价值等于S-D- Xe-r(T-t)。 • 无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格, 其内在价值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益资产美式看涨期 权的内在价值也等于S-D- Xe-r(T-t)

无收益资产欧式看跌期权的内在价值为Xe(r U-S,有收益资产欧式看跌期权的内在价值为X eI+D-S。无收益资产美式期权的内在价值等 于ⅩS,有收益资产美式期权的内在价值等于 X+D-S。 当然,当标的资产市价低于协议价格时,期权 多方是不会行使期权的,因此期权的内在价值 应大于等于0。 Copyright oZhenlong Zheng2003, Department of finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University • 无收益资产欧式看跌期权的内在价值为X e-r(T￾t) -S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值为X e -r(T-t)+D-S。无收益资产美式期权的内在价值等 于X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于 X+D-S。 • 当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权 多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值 应大于等于0

(二)期权的时间价值 期权的时间价值( Time value)是指在期权有 效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收 益的可能性所隐含的价值。显然,标的资产价 格的波动率越高,期权的时间价值就越大 此外,期权的时间价值还受期权内在价值的影 响。以无收益资产看涨期权为例,当S=X e-r(T-t 时,期权的时间价值最大。当S-Xe(m的绝对 值增大时,期权的时间价值是递减的,如图 13.1所示。 Copyright oZhenlong Zheng2003, Department of finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University （二）期权的时间价值 • 期权的时间价值（Time Value）是指在期权有 效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收 益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价 格的波动率越高，期权的时间价值就越大。 • 此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影 响。以无收益资产看涨期权为例，当S=X e-r(T-t) 时，期权的时间价值最大。当S-X e-r(T-t)的绝对 值增大时，期权的时间价值是递减的，如图 13.1所示

时间价值 Xe T4) 图1B31无收益资产看涨期权时间价值与SXe")的关系 Copyright oZhenlong Zheng2003, Department of finance, Xiamen University

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期权价格的影响因素 (一)标的资产的市场价格与期权的协议价格 二)期权的有效期 (三)标的资产价格的波动率 (四)无风险利率 (五)标的资产的收益 Copyright oZhenlong Zheng2003, Department of finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University 二、 期权价格的影响因素 （一）标的资产的市场价格与期权的协议价格 （二）期权的有效期 （三）标的资产价格的波动率 （四）无风险利率 （五）标的资产的收益

期权价格的上、下限 )期权价格的上限 看涨期权价格的上限 在任何情况下,期权的价值都不会超过标的资产的价 格。因此,对于对于美式和欧式看跌期权来说,标的 资产价格都是看涨期权价格的上限: C≤S和C≤S 13.1) 其中,c代表欧式看涨期权价格,C代表美式看涨期权 价格,S代表标的资产价格。 Copyright oZhenlong Zheng2003, Department of finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University 三、期权价格的上、下限 （一）期权价格 的上限 1．看涨期权价格的上限 • 在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价 格。因此，对于对于美式和欧式看跌期权来说，标的 资产价格都是看涨期权价格的上限： （13.1） • 其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权 价格，S代表标的资产价格。 c S C S   和

2.看跌期权价格的上限 ·由于美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价 格(X),因此,美式看跌期权价格(P)的上限为Ⅹ: (13.2) 由于欧式看跌期权只能在到期日(T时刻)执行,在T 时刻,其最高价值为X,因此,欧式看跌期权价格(p) 不能超过X的现值: (13.3) 其中,群表时刻到期的无风险利率,t代表现在时刻。 Copyright oZhenlong Zheng2003, Department of finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University 2．看跌期权价格的上限 • 由于美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价 格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X： （13.2） • 由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T 时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p） 不能超过X的现值： （13.3） 其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。 P X  r T t ( ) p Xe− − 

(二)期权价格的下限 1.欧式看涨期权价格的下限 (1)无收益资产欧式看涨期权价格的下限 为了推导出期权价格下限,我们考虑如下两个 组 组合A:一份欧式看涨期权加上金额为e 的现金; 组合B:一单位标的资 T时刻,组合A的价值为:ma(S,X) 而组合B的价值为S Copyright oZhenlong Zheng2003, Department of finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University （二）期权价格的下限 1．欧式看涨期权价格的下限 （1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限 • 为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个 组合： 组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金； 组合B：一单位标的资产 • T时刻，组合A 的价值为： 而组合B的价值为ST。 max( , ) S X T r T t ( ) Xe− −

由于max(S,X)≥S 因此,在t时刻组合A的价值也 应大于等于组合B,即:c+XeTt>S 所以c≥S-Xer(Et) 由于期权的价值一定为正,因此无收益资产欧式看涨 期权价格下限为 c>max[S-Ye -(-,01 (134) (2)有收益资产欧式看涨期权价格的下限 我们只要将上述组合A的现金改为+D,并经过类 似的推导,就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的 下限为: C≥max[S-D-e(7- (13.5) Copyright oZhenlong Zheng2003, Department of finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University • 由于 ，因此，在t时刻组合A的价值也 应大于等于组合B，即: c+Xe-r(T-t)≥S 所以 c≥S-Xe-r(T-t) • 由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨 期权价格下限为 （13.4） （2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限 • 我们只要将上述组合A的现金改为 +D，并经过类 似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的 下限为： （13.5） ( ) max[ ,0] r T t c S Xe− −  − max( , ) T T S X S  ( ) max[ ,0] r T t c S D Xe− −  − − r T t ( ) Xe− −

2.欧式看跌期权价格的下限 (1)无收益资产欧式看跌期权价格的下限 考虑以下两种组合: 组合C:一份欧式看跌期权加上一单位标的资产 组合D:金额为 Xe r (7-)的现金 在T时刻,组合C的价值为:max(S,Ⅹ) ·假定组合D的现金以无风险利率投资,则在T时 刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻 大于等于组合D,因此组合C的价值在时刻也应 大于等于组合D,即:p+S≥he P≥-(7- S Copyright oZhenlong Zheng2003, Department of finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University 2．欧式看跌期权价格的下限 （1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限 • 考虑以下两种组合： 组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产 组合D：金额为 的现金 • 在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X） • 假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时 刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻 大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应 大于等于组合D，即： ( ) ( ) r T t r T t p S Xe p Xe S − − − − +   − r T t ( ) Xe− −