北京大学光华管理学院：《金融学》专业教学课件（PPT讲稿）06 期权定价

第六章 期权定价 )光华营理庑 89 Guanghua School of management

第六章 期权定价

教学内容 1.股价过程 2.BsM随机微分方程 3.风险中性定价 4.B-S期权定价公式 5.标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6.欧式指数期权、外汇期权和期货期权 Q)北华理 a9 Guanghua School of Management 期权

期权 2 教学内容 1. 股价过程 2. BSM随机微分方程 3. 风险中性定价 4. B-S期权定价公式 5. 标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权

马尔科夫过程( Markov process) 1.无记忆性:未来的取值只与现在有关,与过去无关 2.如果股价过程是马尔科夫过程,那么股价在未来某时 刻的概率分布不依赖于股价过去的路径 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中,简单的 技术分析不能战胜市场 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性 Q)北华理 a9 Guanghua School of Management 期权

期权 3 马尔科夫过程(Markov process) 1. 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关 2. 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时 刻的概率分布不依赖于股价过去的路径 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的 技术分析不能战胜市场 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性

Wiener过程(布朗运动—定义 1.瞬时增量为△z=E√△t ■增量的均值等于0 ■增量的标准差等于△ 2.在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是 Markov过程 Q)北华理 a9 Guanghua School of Management 期权

期权 4 Wiener过程(布朗运动)——定义 1. 瞬时增量为 增量的均值等于0 增量的标准差等于  =  z t  2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程 t

Wiener过程(布朗运动)—基本性质 1. Wiener过程(长时间段内)的增量 z(m)-(0)=∑M△r N=T/A 增量的均值等于0 增量的标准差等于√T 2.在任意时间段内的期望路径长度为无穷大 3.在任意时间段内,z取某一给定值的期望次数等于无 穷大 Q)北华理 a9 Guanghua School of Management 期权 5

期权 5 Wiener过程(布朗运动)——基本性质 1. Wiener过程(长时间段内)的增量 增量的均值等于0 增量的标准差等于 2. 在任意时间段内的期望路径长度为无穷大 3. 在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无 穷大 ( ) ( ) ( ) 1 0 N i i z T z t N T t  = − =  =   T

广义Wene过程 1.x是广义 Wiene过程,如果 d=adt+bdz ■漂移速度a是常数 b是常数 2.x是广义 Wiener过程 ■增量x(T)-x(0)为正态分布,均值等于T 标准差为bT Q)北华理 a9 Guanghua School of Management 期权

期权 6 广义Wiener过程 1. x是广义Wiener过程，如果 漂移速度a是常数 b是常数 2. x是广义Wiener过程 增量 为正态分布，均值等于 标准差为 dx adt bdz = +x T x ( ) − (0) b T aT

Ito引理 1.x是Ito过程,如果 dx=a(g, tdt+b(x,t d 2.Ito引理:G是x与t的函数,在一定的正则条件下, aGaG 18G aG dG a+ b2 dt +bdz 2 ax at 2 ax ax 因此,G也是Ito过程 Q)北华理 a9 Guanghua School of Management 期权

期权 7 Ito引理 1. x是Ito过程，如果 2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下， 因此，G也是Ito过程 2 2 2 1 2 G G G G dG a b dt bdz x t x x       = + + +         dx a x t dt b x t dz = + ( , , ) ( )

Ito引理—一应用于股票远期价格 1.标的资产为不分红的股票,则远期价格为 F=Se T-t 0 2.运用Ito引理,得到, dF=(u-rFd+oFdz Q)北华理 Guanghua School of Management 期权

期权 8 Ito引理——应用于股票远期价格 1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为 2. 运用Ito引理，得到， 0 0 rT F S e = r T t ( ) F Se − = dF r Fdt Fdz = − + (  )

股价过程 1.股价过程:几何布朗运动 ds ds=usdt+osd udt +odz S :单位时间内股价的期望收益率(瞬时 O:股价的波动率 △S 小( 1△t,√△t 2.S为股价过程,则 aG OG 18G dG ot 2 02202S2 dtOG t=+ o Sdz Q)北华理 299 Guanghua School of Management 期权

期权 9 股价过程 1. 股价过程：几何布朗运动 ， ：单位时间内股价的期望收益率(瞬时) ：股价的波动率 . 2. S为股价过程，则 dS dt dz S dS Sdt Sdz = +   = +     ( , ) S t t S       2 2 2 2 1 2 G G G G dG S S dt Sdz S t S S          = + + +        

股价过程—对数正态分布 1.股价对数过程,G=lnS 心G会dS=(-a2)y+at T/0 InST PIn So+ 2.称股价呈对数正态分布 E(S)=Se var (Sr)=S2e2ureo'T-1 Q)北华理 299 Guanghua School of Management 期权

期权 10 股价过程——对数正态分布 1. 股价对数过程， 2. 称股价呈对数正态分布 ( ) 2 dG d S S dt dz ln 2 = − +    G S = ln ( ) (( ) ) 2 0 ln , 2 S S T T T    −  ( ( ) ) 2 0 ln ln , 2 S S T T T    + − ( ) 0 T E S S e T  = ( ) 2 2 2 0 var 1 T T S S e e T   = −    