《高等数学》课程教学资源（教案讲义，打印版）第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法

高等数学教案 第六章定积分的应用 第六章定积分的应用 第一节定积分的元素法 教学内容：定积分的元素法 教学目标：使学生理解元素法的数学思想，掌握元素法的解题步骤 教学重点：元素法 教学难点：元素法 教学方法：讲授 作 业： 教学过程： 回忆曲边梯形的面积计算： 设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，求以曲线y=f(x)为曲边，底为[a,b]的 曲边梯形的面积A.步骤如下： (1)用任意一组分点将区间分成n个小区间[x-,x],其长度为 △x,=x,一x-1(i=1,2,…,n).相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边 梯形的面积记△A,i=1,2,…,n,于是有 A=A4: (2)计算△x:的近似值 △4，≈f(5)△x,5∈[x-,x](i=1,2,…,n): (3)求和，得A的近似值 A∑f5)A (4)求取极限，得 A=m∑f5)Ax,=jfxd 4→01 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：

高等数学教案 第六章定积分的应用 1）若将[a,b]分成部分区间[x-,x,](i=1,2,…,n),则A相应地分成部分量 △4(i=1,2,…,n),而 A ∑A4 这表明：所求量A对于区间[a,b]具有可加性. 2)用f(5)△x近似△4，误差应是△x的高阶无穷小.只有这样，和式∑f(5)△x的 极限方才是精确值A,故关键是确定 △A≈f(5,)△x,（△A-f(5)△x,=0(△x)). 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，我们可以给出用定积分计算某个量 的条件与步骤 1.能用定积分计算的量U,应满足下列三个条件： (1)U与变量x的变化区间[a,b]有关： (2)U对于区间[a,b]具有可加性； (3)U部分量△U,可近似地表示成f(5)·△x, 2.写出计算U的定积分表达式步骤： (1)根据问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]: (2)设想将区间[a,b]分成若干小区间，取其中的任一小区间[x,x+d],求出它所对 应的部分量△U的近似值 △U≈f(x)k(f(x)为[a,b]上一连续函数) 则称f(x)d为量U的元素，且记作dU=f(x)k: (3)以U的元素dU作被积表达式，以[a,b]为积分区间，得 (x)dx 这个方法通常叫做元素法. 2