《高等数学》课程教学资源（教案讲义，打印版）第五章 定积分 第四节 反常积分

高等数学教案 第五章定积分 第四节 反常积分 教学内容：一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 教学目标：1.理解无穷限的反常积分和无界函数的反常积分的概念： 2能用反常积分的收敛定义讨论某些简单的反常积分的收敛性： 3.会计算一些简单的反常积分 教学重点：无穷限及无界函数的反常积分 教学难点：无界函数的反常积分 教学方法：讲授 作业：P2601-2 教学过程： 一、无穷限的反常积分 定义1设函数x)在区间[a,+o)上连续，取b>a.如果极限 limf)d h》+ 存在，则称此极限为函数)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记作”f冰，即 f()d=lim f)ds 十 这时也称反常积分fxdk收敛：如果上述极限不存在，则函数)在无穷区间[a,+∞)上的 反常积分fx)就没有意义，此时称反常积分fx)k发散。 类似地，设函数x)在区间(-o,b]上连续，取a<b.如果极限 lim f(dx(a<b) 存在，则称此极限为函数x)在无穷区间(-，b]上的反常积分，记作心∫x)dk,即 心fxdk=lim fd. 这时也称反常积分心f)k收敛.如果上述极限不存在，则称反常积分心fx)体发散。 设函数x)在区间(-0，+0)上连续，如果反常积分 已fxd和fxd 都收敛，则称上述两个反常积分的和为函数x)在无穷区间(-0，+0)上的反常积分，记作

高等数学教案 第五章定积分 fxd,即 fxk=fx+f达 =lim f(dx+lim f)de. 这时也称反常积分fxk收敛：否则就称反常积分f)发散。 反常积分的计算：如果F(x)是x)的原函数，则 dlim dimF =imF⑥-Fa)=limF)-Fa. 可采用如下简记形式： [f(x)dx=[F(x)=lim F(x)-F(a). 类似地 f(x)dx=[F(x)=F(b)-lim F(x), f()dx=[F(=lim F(x)-lim F(x). 例1计算反常积分中， 解1中k=farctan. 1+x lim arctanx-lim arctanx 十 =受-(2=x 这个反常积分值的儿何意义是：当口→-心，b→0时，虽然图中阴影部分向左，右 无限延伸，但是它与x轴所围成的面积却是有限值汇， 例2计算反常积分"te-dt (p是常数，且p>0). te-pdi=jte-di=-ide- -Lte +Ife-Pdtb" =[-Lte-m_1 lim[-Lte-m-1 1+0 p2-p2 提示：mem女m记-0 2

高等数学教案 第五章定积分 例3讨论反常积分血(a>0)的敛散性 解当p1时， bk==血=+o. 当p1时，之k=-2]=o 当p1时，21片 因此，当p]时，此反常积分收敛，其值为片：当S1时，此反常积分发散 二、无界函数的反常积分 瑕点：如果函数x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数)的瑕点（也称为 无界间断点)， 定义2设函数x)在区间(a,b]上连续，点a为x)的瑕点.取>a,如果极限 m(d 存在，则称此极限为函数x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作心fx),即 f=im了fxh. 这时也称反常积分心fx)收敛.如果上述极限不存在，就称反常积分心fxk发散 类似地，设函数x)在区间[a,b)上连续，点b为)的瑕点.取Kb,如果极限 n [d 存在，则定义 心fk=lim〔f达： 否则，就称反常积分心k发散. 设函数x)在区间[a,b]上除点c(<c<b)外连续，点c为x)的瑕点.如果两个反常积分 Cf)k与frdk 都收敛，则定义 心fxk=〔f6k+f6xk. 否则，就称反常积分Cfx)d发散， 反常积分的计算： 设F(x)为x)的原函数，则

高等数学教案 第五章定积分 当a为瑕点时，心fx)k=[F(x)论=F(b)-lim F(x); d 当b为瑕点时，心fx)ak=[F(x)追=lim F()-F(a). 当c(a0) 解因为lim =十0， a√a2-x2 所以点a为被积函数的瑕点. /a2-x2 taresin a =arcsin各-0-=受 多0 这个反常积分的几何意义是：虽然位于y= 之下，x轴之上，直线x=0与x=a va2-x2 图形是无界的，但是它的面积却是有配 例5讨论反常积分 之的收敛性， 解函数女在区间-1，止除x0外连续，且m立=0. 由于以=-m以1ew, 即反常积分之本发散，所以反常积分之本发散 例6讨论反常积分高的敛散性 解当gl时，o产x-ag=+o. 当p1时，g-ag=w. 当g1时，a加g-o18=g-a. 因此，当91时，此反常积分收敛，其值为亡g亿-；当g21时，此反常积分发散