《高等数学》课程教学资源（教案讲义，打印版）第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质

高等数学教案 第五章定积分 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 教学内容：一、定积分问题举例 二、定积分定义 四、定积分的性质 教学目标：使学生理解定积分的概念和性质，了解函数可积的充分条件，知道定积分中值定 理的几何解释」 教学重点：定积分的定义 教学难点：对定积分概念的理解 教学方法：讲授 作 业：P2343,4,10,11,12,13 教学过程： 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 设函数=x)在区间[a,b]上非负、 y=f(x) 连续.由直线x=a、x=b、=0及曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，其中 曲线弧称为曲边， 0 求曲边梯形的面积的近似值： 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替，每 个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积，则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面 积的近似值， 具体方法：在区间[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0

高等数学教案 第五章定积分 2,··,n),把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即 Af(5i)△x1+f(52)△x2+·+f(5n)△xn =2f传A· i=1 为了保证所有小区间的长度都无限缩小，我们要求小区间长度中的最大值趋于零，如记 =max{△x1,△x2,·,△xm},则上述条件可表为入→0.当入→0时（这时分段数n无限增多，即 n→oo),取上述和式的极限，便得曲边梯形面积 A=lim2f传Ax. 01 2.变速直线运动的路程 设物体作直线运动，已知速度=(0是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数，且()≥0，计算 在这段时间内物体所经过的路程S! 求近似路程： 我们把时间间隔[T,T]分成n个小的时间间隔△，在每个小的时间间隔△：内，物体运 动看成是均速的，其速度近似为物体在时间间隔△内某点5：的速度（π），物体在时间间隔 △t,内运动的距离近似为△S=v(π)△.把物体在每一小的时间间隔△t内运动的距离加起来 作为物体在时间间隔[T1,T]内所经过的路程S的近似值. 具体做法：在时间间隔[T1,T]内任意插入若干个分点 T1=t0

高等数学教案 第五章定积分 记=max{△t1,△12，·，△1m,当入→0时，取上述和式的极限，即得变速直线运动的路程 S=lim∑v(x)△t. A0扫1 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，就抽象 出下述定积分的定义， 定义设函数x)在[a,b)上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0

高等数学教案 第五章定积分 函数x)在[a,b]上满足什么条件时，fx)在[ab]上可积呢？ 定理1设fx)在区间a,b]上连续，则f()在[a,b]上可积. 定理2设fc)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则fx)在[a,b]上可积 定积分的几何意义： (1)当x)≥0时， 〔f)达=A(表示曲边梯形的面积 y个 y■f(x) (2)当)

高等数学教案 第五章定积分 立a-含-分H nn P=P石a+2m+)=若+22+ 因为元=1，当0时，n0,所以 s=m2传a=m0+2+片号 01 月-6 n -n1 四、定积分的性质 两点规定： (1)当a=b时， f(x)d=0. 2)当a>b时，fwk=-fk. 性质1fx)±gx=心fwd±gd. i证fx)±gx=1im∑f5)±g传)Ax =lim2f传4x±lim2g传)Ax →01 01 =f6dr±[g()dx 性质2心)dk=kCf(k是常数). 性质3设当

高等数学教案 第五章定积分 Llds-fox=b-a. 性质5如果在区间[a,b]上f(x)≥0，则 Cfk≥0(a

高等数学教案 第五章定积分 这个公式叫做积分中值公式， 证把性质6中的不等式各除以b-a，得 m≤afs≤M, 由连续函数的介值定理，在[a,b]上至少存在一点5，使 fgar达， 于是两端各乘以b-,即得所要证的等式.。 应注意：不论ab,积分中值公式都成立. 积分中值公式的几何解释： 在区间[a,b]上至少存在一个5， A y=f(x) f(5) 使得以区间[a,b]为底边，以曲线 y=∫(x)为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为()的一个矩形的面积. >